Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
л = 0
Доказательство. Свойства 1) и 3) очевидны. Свойство 2) следует из оценки
| ф (t + h) - ф (t) | = | Ыеи*> (eih& - 1) | ^ M | elt& - 11
и теоремы о мажорируемой сходимости, согласно которой 1 |->¦ О, А->-0.
Свойство 4). Пусть F су метрична. Тогда, если g{x)--ограниченная
борелевская нечетная функция, то ^ g (х) dF (х) = 0 (за-
R
метим, что для простых нечетных функций это следует сразу из
определения симметричности F). Поэтому § sin tx dF (х) = 0 и,
R
значит,
Ф (/) = М cos tl.
Обратно, пусть ф^(/) является действительной функцией. Тогда в силу 3)
Фч (0 = П (- 0 = Ф? (0 = П (Of
Отсюда (как это будет доказано ниже в теореме 2) следует, что функции
распределения F^ и F6 случайных величин - | и | совпадают, а значит (по
теореме 3.1),
Р(^еВ) = Р(-?еВ) = Р(?е-Б)
для любого В е <Ш (R).
Свойство 5). Если М 11|" < оо, то в силу неравенств Ляпу* нова (6.28)
М|?|'<оо, г^п.
Рассмотрим отношение
Ф (< + /") - ф(0 = Meitl /е'Ъ-1 h \ h
Поскольку
\eihx-l I , h------
и М 11| <оо, то по теореме о мажорируемой сходимости существует
lim Me'/S(-т~ л-> о \ п
равный
ОО
Ме'
К lim = l' ^ xeitx dF (х). (16)
298 ГЛ ГГ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Поэтому существует
производная ф' (t) и
СО
Ф' (t) - i (М?,еи*) = i ^ xeitx dF (х).
- СО
Существование производных фМ (t), 1 <.г^п, и справедливость формул (12)
устанавливаются по индукции.
Формулы (13) следуют непосредственно из (12). Установим справедливость
представления (14).
Поскольку для действительных у
П - 1
е'У = cos г/ + г sin г/ = ^ ^|г + (-^ [cos 0^ +r sin 62г/], где 1011 ^ 1,
1i ^ 1" то
п- 1
eUl= 2(^ + (r)-[COS01(o))^ + "Sin0a(")^] (17)
*=о
и
п - I
Ме'7|= 2(4rM^+^r№+e/iW]> (18)
*=о
еп (t) = М [?л (cos 0Х (<в) t\ +1 sin 02 (oo) t\ - 1)].
где
Ясно, что | гп (t) [ ЗМ | ?л |, причем по теореме о мажорируемой
сходимости е" (()->¦ 0, t->¦ 0.
Свойство 6). Доказательство будем вести по индукции. Предположим сначала,
что производная ф"(0) существует и конечна. Покажем, что тогда М?2 < со.
По правилу Лопиталя и лемме Фату
ф- (0) = НтД [Ф^ЫЖ + Ф-(0)-^(=^)] =
= Пт 2(Р = Пт ~ [ф (2ft) - 2ф (0) + ф (- 2Л)] =
Л-*0 т h^Q*n
со
-й !№¦
- со
со со
-'Й Jl5(nr'),*,,urW =
- со - со
со
= - ^ x2dF (х).
§ 12. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 299
Поэтому
СО
$ х2 dF (х) -Ч - ф" (0) < со.
- со
+ СО
Пусть теперь ф<2*+2) (0) существует, конечна и $ х2к dF (х) < оо.
- СО
СО со
Если § х2к dF {х) = 0, то и $ x2k+2dF(x) = 0. Так что будем
- СО -СО
СО
предполагать, что J x2h dF (х)>0. Тогда, согласно свойству 5),
- СО
СО
Ф<2*) (/) = ^ (ix)2k eitx dF (х)
- СО
и, значит,
со
(-1)*ф<а*)(*)= $ eitxdG{x),
•-СО
X
где G (х) = $ "2t dF (и).
- СО
Следовательно, функция (-1)* ф(2*> (f) G-1 (оо) является
характеристической функцией вероятностного распределения G (х) ¦ G-1 (со)
и по доказанному
СО
G-1 (со) ^ х2 dG (х) С со.
- СО
Но G-1 (со) > 0, значит,
СО СО
$ х2к+2 dF (х) x2dG (х) < со.
- СО -со
Свойство 7). Пусть 0<t0<R> Тогда, используя формулу Стирлинга, находим,
что
1- (м 11 г')1/д 1 ^ да (м is г "г , ,|т /м 18 ]".;)"¦< 1.
п to п \ п I /
Следовательно, по признаку Коши ряд 1 сходится,
СО
а значит, сходится и ряд для любого Но
Г= 0
в силу (14) для любого п^1
0
300 ГЛ И. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
где | Rn (t) | ^ 3 М 111". Поэтому для всех 111 < R
СО
cp(o=2(-f М^-
Г= 0
Теорема доказана.
Замечание 1. Аналогично доказательству (14) устанавливаемся, что если для
некоторого п5^1 М|?|я<;оо, то
= S x^dF(x) + l-^^.e"(t-s)t- (19)
k~ 0 -оо
где |e"(f - s) | ^ЗМ | g" | и en(t - s)->0, 0.
Замечание 2. По поводу условия, фигурирующего в свойстве (7), см. также
далее п. 9, посвященный вопросу об "единственности проблемы моментов".
4. Следующая теорема показывает, что характеристическая функция
однозначно определяет функцию распределения.
Теорема 2 (единственности). fs(x)^ Пусть F и G - две функции
распределе-
ния, имеющие одну и ту же характери-У N. стическуюфункцию, т. е. для
всех / е/?
со оо
§ eitxdF(x) = $ e'"xdG(x). (20)
О a-f а Ь Ь+е
Рис. 33.
Тогда F (x) = G (х).
Доказательство. Зафиксируем a, b^R, е>0 и рассмотрим функцию /е = /Е(х),
изображенную на рис. 33. Покажем, что
оо оо
5 f*(x)dF(x)= 5 f*(x)dG(x). (21)
- ОО -оо
Пусть /гSi 0 таково, что [а -г, & + е]е[-п, /г], и последовательность
{6"} такая, что 15^бл],0, п-*-оо. Как всякая непрерывная на [-п, п]
функция с равными значениями в концевых точках, функция /е = fE (х) может
быть равномерно аппроксимирована (теорема Вейерштрасса -Стоуна)
тригонометрическими полиномами, т. е. существует конечная сумма
fl (х) = 2 ak ехР (inx 7г) (22)
k
такая, что
sup |PW-/5H|<8n. (23)
- п^х^п
§ 12. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
301
Продолжим периодически функцию /(r) (х) для всех х ^R и заметим, что
supl/* (*)|<2.
X
Тогда, поскольку в силу (20)
СО со
5 f (х) dF (х) = $ f (х) dG (х),
то
] f (х) dF (х) - 5 f(x)dG(x)
- СО
I f dF - J fdG + 26*^
- П -- П
СО СО
^ fdF- $ fdG
^ fdF- ^ fdG
+ 2S"-ф 2/г ([-n, n])-(-2G([-n, /г]), (24)
