Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
где F (A) = J dF (x), G(A)=^dG(x). При /г-v оо правая часть
A A
в (24) стремится к нулю, что и доказывает равенство (21).
При e-vO /Е (x)-v /(Si й] (х). Поэтому по теореме о мажорируемой
сходимости из (21) следует, что
СО СО
5 ha. b](x)dF (х)= ^ I(a_b](x)dG(x),
- СО -СО
т. е. F (b) - F (a) - G ф) - G (а), откуда в силу произвольности а и b
следует, что F{x) = G(x) для всех х ^ R.
Теорема доказана.
5. Предыдущая теорема говорит о том, что функция распределения F -
F(x) однозначно восстанавливается по своей характеристической функции <р
= ф(/). Следующая теорема дает явное представление функции F через ср.
Теорема 3 (формула обращения). Пусть F = F (х) -функция распределения и
Ф (t) = $ eitx dF (х)
- ее характеристическая функция.
а) Для любых двух точек а, b(a<b), где функция F = F(x) непрерывна,
F (Ь) -F (а) = lim ± Г ?*-- ~е~т Ф (/) dt-, (25)
tf-too V kk
r-e
302
ГЛ. II МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Ь) Если ^ | ср (/)! dt < со, то функция распределения F (х)
- СО
имеет плотность / (л;),
F{x)= $ / (у) dy (26)
- СО
U
со
f м=ш j е~иху wd1,
- CO
Доказательство. Прежде всего отметим, что если функция F (х) имеет
плотность f{x), то
Ф (t) = $ eltxf (х) dx,
(28)
и поэтому формула (27) есть не что иное, как преобразование Фурье от
(интегрируемой) функции ф(/). Интегрируя левую и правые части (27) и
применяя теорему Фубини, получим
О Or- 00
F(b)-F(a) = J/(*)<** = ~ J J e~itx^ (/) dt
a L - со
со r- b ~i со
= 2^ S 4>(0 \e-"xdx dt = ± J ф(0
La
dx -
-ita.
-itb
it
¦dt.
После этих рассмотрений, объясняющих до некоторой степени формулу (25),
перейдем к ее доказательству,
а) Имеем
С
S г-ч'("'й=
-с
со
-с
СО г С
-К Hi
it
Q-ita g-Ub
^ eUx dF (x)
dt =
-ita p-itb
¦ eitx dt
dF {x) =
$ Vc(x)dF(x),
(29)
где мы положили
'-ita o-itb
§ 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
303
и воспользовались теоремой Фубини, справедливость которой в данном случае
следует из того, что
\Ь - а
p-ita p-itb е * nitx g-ita b f e~itx dx
и е ~* it
tj a
$ $ (b - a) dF (х) ^2c(b - a)<. со.
- С -СО
Далее
С
^ _ _L ^ sin t (х a) sin t (x - b) ^ _
Функция
-с
с(х-а) с(х-Ь)
1 Р sin v , 1 Р sin и ,
п- \ dv - rr \ du.
2л J v 2л J и
- С(х-а) -с(х - Ь)
I
(30)
. ,ч С sin v ,
g(s, t)= J -dv
равномерно непрерывна no s и / и
g(s, t)-+n
(31)
при sj - со и /f oo. Поэтому существует такая константа С, что для всех с
и х | (х) | < С < со. Кроме того, из (30) и (31) сле-
дует, что
'Рс (*)-"-? (*), С-> СО,
где
(¦ 0, х<.а, х>Ь,
*Р(д:) = | 1/2, х - а, х = Ь,
I 1, а<.х<.Ь.
Пусть р -мера на (R, <?B{R)) такая, что ц(а, b] = F (b) - F (а). Тогда,
применяя теорему о мажорируемой сходимости и пользуясь формулами задачи 1
в § 3, находим, что при с->оо
СО СО
фс = ^ Ус (х) dF (х) -> $ Т (х) dF (х) =
- 00 -со
= р(я, Ь) + ^-ц{а) + -i-p{&} =
= F(b-)-F(a) + \[F (а) -F (а-) + F (b) -F (Ь -)] =
- №+' ^---1 - f W +f <"=* (а),
304 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
где последнее равенство справедливо для любых точек а и Ь, являющихся
точками непрерывности функции F (х).
Итак, формула (25) доказана.
Ь) Пусть J | ф (t) | dt < оо. Обозначим
- СО
СО
Из теоремы о мажорируемой сходимости следует, что эта функция непрерывна
по х и, следовательно, она интегрируема на интервале [а, Ь]. Поэтому,
снова применяя теорему Фубини, находим, что
b b / со ^
J / (х) d* = JJ e-itxy{t)dt\dx =
a a \- со J
2л j
- CO
Г ь -| Г ь -,
j e-itxdx J e~itx dx dt =
.а с ->СО v - с Л
lim
i (• p-Ua p-ltb
J Jt^-<P(t)dl = F(b)-F(a)
-С
с-.00 2Л
для всех точек а и Ь, являющихся точками непрерывности функции F (х).
Отсюда вытекает, что
F(x)= ^ f(y)dy, x&R,
- 00
и так как / (х) - непрерывная, a F (х) - неубывающая функции, то f(x)
есть плотность F (х).
Теорема доказана.
Следствие. Формула обращения (25) дает другое доказательство утверждения
теоремы 2.
Теорема 4. Для того чтобы компоненты случайного вектора ! = (?], ..., In)
были независимы, необходимо и достаточно, чтобы его характеристическая
функция была произведением характеристических функций компонент'.
Мв'('А+-+/"Е")= ПМАЧ .................../")?=/?".
k- i
Доказательство. Необходимость следует из задачи 1.
Для доказательства достаточности обозначим F = F (хг хп) -
функцию распределения вектора ? = (ii, In) и Fk (х) - функ-
§ 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
303
цию распределения l^k^n. Положим G=G(x1, ..., хп) = = Fj (Xj)...Fn (хп).
Тогда по теореме Фубини для всех (tu ... ..., tn)<=Rn
\et^+-+lnx")dG(x1...xn)= П \eu**dFk(x) =
gti h - 1 R
= Д = dFfo ... *")•
A=i
Поэтому по теореме 2 (точнее по ее многомерному аналогу; см. задачу 3) F
= G, и, следовательно, согласно теореме из § 5, величины glt ...,
независимы.
6. В теореме 1 сформулированы некоторые необходимые условия, которым
удовлетворяет характеристическая функция. Таким образом, если для функции
ср = ср(/) не выполняется, скажем, одно из первых трех утверждений этой
теоремы, то это означает, что рассматриваемая функция не является
