Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
подпсследовательность.
Так, например, последовательность {РД, где Р2" = Р, P2nil = = Q, а Р и Q
-различные вероятностные меры, не является, очевидно, сходящейся, но
имеет две сходящиеся подпоследовательности {Р2Д и {Р2"+1}.
СоЕсем просто устроенная последовательность {РД вероятностных мер Р",
1, каждая из которых сосредоточена в точке
{п\ (Р" {п\ = 1), не только не является сходящейся, но и не содержит ни
одной сходящейся* подпоследовательности. (Поскольку lim Р" (а, й] = 0 для
любых а<_Ь, то предельная мера должна
была бы быть тождественно равной нулю, а это противоречит тому, что 1 =
РЛ (#)¦/> О, п -> оо.) Интересно отметить, что в этом примере
соответствующая последовательность функций распределения {Ел}, где
(Fn^F)oL(Fn, F) -> 0.
sup | Fn (x) - F (x)! -> 0, n-^oo.
X
n
338
ГЛ. III. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
является, очевидно, сходящейся: для любого x^R
Fn (х) ->G(x) = 0.
Однако предельная функция G = G (х) не является функцией распределения (в
смысле определения 1 из § 3 гл. II).
Этот пример поучителен с той точки зрения, что, как он показывает, класс
функций распределения не является компактным. Он подсказывает также, что
для сходимссти последовательности функций распределения к функции,
которая являлась бы также функцией распределения, нужны некоторые
условия, предотвращающие "утечку массы на бесконечность".
После этих вводных замечаний, поясняющих характер возникающих здесь
трудностей, перейдем к основным определениям.
2. Будем предполагать, что все рассматриваемые меры определены на
метрическом пространстве (Е, Ш, р).
Определение 1. Семейство вероятностных мер 3 =" = {Ра; а е 21} назовем
относительно компактным, если любая последовательность мер из 3 содержит
подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторой вероятностной мере.
Подчеркнем, что в этом определении предельная мера предполагается
вероятностной, хотя, быть может, и не принадлежащей исходному классу 3.
(Именно с этим последним обстоятельством связано появление слова
"относительно" в данном определении.)
Проверка того, ,что данное семейство вероятностных мер относительно
компактно, является делом далеко не простым. Желательно поэтому иметь
простые и удобные критерии, позволяющие осуществлять эту проверку. Этой
цели служит
Определение 2. Семейство вероятностных мер 3 - - {Ра; а е 21} называется
плотным, если для каждого е>0 можно указать компакт К <= Е такой, что
sup Ра (?\/С) е. (1)
Определение 3. Семейство функций распределения eF =" = {Fa'i а s 2t},
определенных на Rn, n^sl, называется относи-тельно компактным (плотным),
если таковым является соответствующее семейство вероятностных мер <35 =
{Ра; аеЯ}, где Ра - мера, построенная по Fa.
3. Следующий результат играет фундаментальную роль во всей проблематике
слабой сходимости вероятностных мер.
Теорема 1 (теорема Прохорова). Пусть 3 = { Р"; а е 91} - семейство
вероятностных мер, заданных на полном сепарабельном метрическом
пространстве (Е, Ш, р). Семейство 3 является относительно компактным
тогда и только тогда, когда оно является плотным.
§ 2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ КОМПАКТНОСТЬ И ПЛОТНОСТЬ' -э-39
Доказательство этой теоремы будет приведено лишь для случая числовой
прямой. (Почти без всяких изменений это доказательство переносится на
случай произвольных евклидовых пространств Rn, 2. Затем справедливость
теоремы устанавливается последовательно для R°°, для a-компактных
пространств и, наконец, для общих полных сепарабельных метрических
пространств путем сведения каждого из этих случаев к предыдущему.)
Необходимость. Пусть семейство вероятностных мер г?5 = *¦= {Ра; а <= 91},
заданных на (R, S3(R)), относительно компактно, но не плотно. Тогда
найдется такое е>0, что для любого компакта К Е R
sup Ра (R\K) > е,
а
а значит, и для любого интервала I - {а, Ь)
sup Ра (R\I) > е.
а
Отсюда вытекает, что для каждого интервала /л = (-п, п), п^\ найдется
такая мера Рап, что
Рал (R\Iп) > ?•
Раз исходное семейство относительно компактно, то из последовательности
можно извлечь подпоследовательность,
скажем, /Ра } такую, что Ра Лй, где Q -некоторая вероят-
I nk) nk
ностная мера. Тогда в силу эквивалентности условий I и II в теореме 1 ИЗ
§ 1 ДЛЯ ВСЯКОГО 1
Ш Р, (R\In)^Q(R\In). (2)
ft - oo "ft
Но Q(R\In) j 0, п-+оо, а левая часть в (2) больше е>0. Это противоречие
показывает, что относительная компактность влечет за собой плотность.
Для доказательства достаточности нам необходим один общий результат
(называемый теоремой Хелли) о секвенциальной компактности семейства
обобщенных функций распределения (п. 2 § 3 гл. II).
Обозначим через e^={G} совокупность функций G=G(x) (обобщенных функций
распределения), удовлетворяющих следующим свойствам:
1) G(x) - ne убывают-,
2) 0=^G(-оо), G(-foo)sglj
3) G (х) - непрерывны справа.
Ясно, что <?7 включает в себя класс функций распределения aF = {F}, для
которых F[-оо)=0 и F (+ оо) = 1.
340 гл. Ш СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
Теорема 2 (теорема Хелли). Класс е7={G} обобщенных функций распределения
