Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
является секвенциально компактным, т. е. для любой последовательности
{G"} функций из е7 найдутся функции и подпоследовательность {nk} s {"}
такие, что
Gn (x)-*-G(x), k-+oo,
для любой точки х из множества С (G) точек непрерывности функции G -
G(x).
Доказательство. Обозначим через Т = {хь х2, ...} счетное всюду плотное
множество в R. Поскольку числовая последовательность {Gn(x 1)}
ограничена, то найдется подпоследовательность Ni = {n'i', n'-j;',...}
такая, что при i->со Gnw (*i) сходятся к некоторому числу gy. В свою
очередь из последовательности АЯ можно извлечь подпоследовательность N2 =
{ti'?\ п'2,...) такую, что
Gnt2>(x2) сходятся при г->со к некоторому числу g2 и т. д.
Определим на множестве T^R функцию GT(x), полагая
GT(Xi) = gl, Xi<=T,
и рассмотрим "канторовскую" диагональную последовательность N = {n'i\
п2',,,.}. Тогда для любого при т->со
<J Am) (X,)->Gr(X;).
m
Определим, наконец, функцию G - G(x) для всех х е/?, полагая G (а:) = inf
{GT(y)\ у<=Т, у>х). (3)
Мы утверждаем, что G = G (х) есть искомая функция и G (т)(х)-*-
пт
-> G (х) для всех точек х, где G (х) непрерывна.
Поскольку все рассматриваемые функции G" являются неубывающими, то G (т)
(х) G (тДу) для всех х и у, принадлежащих
пт пт
множеству Т и удовлетворяющих неравенству х-^у. Поэтому для таких х и у
Gt (х) ^Gj-(y).
Отсюда и из определения (3) следует, что функция G = G{x) является
неубывающей.
Покажем теперь, что она непрерывна справа. Пусть xh\ х и d - lim G (xk).
Ясно, что G(x)^d, и надо установить, что на
k
самом деле G(x) - d. Предположим противное, т. е. пусть G (x)<gd. Из (3)
следует, что тогда найдется такая точка у^Т, x<iy, что Gr(y)<d. Для
достаточно больших k х < xk < у, а, значит, G (хк) ^Gr(u) <d и lim G(xk)
<d, что противоречит равенству
k
d = lim G (xlt), Итак, построенная функция G принадлежит <?7.
§ 2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ КОМПАКТНОСТЬ И ПЛОТНОСТЬ 341
Установим теперь сходимость G (т) (х°) ->¦ G (а0) для всякой
пт
точки х0е(С (G).
Если а°< у е Т, то
lim G (m) (a0) sg lim G (m) (г/) = Gr (г/),
mm mm
откуда
ITmG (OT,(x°)=s?inf{Gr("/): //>a°, j/e7| = G (a0). (4)
"4 m
С другой стороны, пусть Ал<г/<л'°, у^Т. Тогда G (А-1) Gr (у) = lim G (m)
(//) = lim G (m) (у) sclim G ((n) (a0).
m m m rn m m
Поэтому, полагая a1 f а0, получим, чго
G (a0-) ^ lim G (m) (a0). (5)
m m
Но если G (a0 - )-G (a0), to тогда из (4) и (5) заключаем, что G (А°1 ->¦
G (a0), m -> оо.
ГГ
Теорема доказана.
Завершим теперь доказательство теоремы 1. Достаточность. Пусть семейство
"Г плотно и {Р,,} -некоторая последовательность вероятностных мер из е?5.
Обозначим
ч^рез \Fn) последовательность соответствующих функций распределения.
В силу теоремы Хелли найдутся подпоследовательность^
{Fnil} s {Fn} и обобщенная функция распределения Ge# такпе, что Fn/i (а)
G (а) для (G). Покажем, что в силу предполо-
жения о плотности семейства "Г функция G = G(а) является на самом деле
"настоящей" функцией распределения (G (-оо) = О, G (-)-оо) = 1).
Возьмем е>0, и пусть / = (а, Ъ] - тот интервал, для которого sup Р" (R\I)
< с,
П
или, что эквивалентно,
1 - е so Ря (а, Ь], п 5= 1.
Выберем точки а', Ь' е ? (G), такими, что а'<а, b'^>b. Тогда 1 - е P"ft
(a, &]sSP"ft(a', b'] = F"k (&') - Fn/i (a') ->¦G (&') -G (a').
Отсюда следует, что G(-i-co) - G(-oo) = l, и поскольку "SG(-oo) sg G
(+oo) sgc 1, to G(-oo) = 0 и G( + oo)=l.
Таким образом, предельная функция G = G(а) является функцией
распределения и F,, => G, что вместе с теоремой 2 из § 1
342
ГЛ. III. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
доказывает, что где Q- вероятностная мера, построенная
по функции распределения G.
Теорема 1 доказана.
4. Задачи.
1. Провести доказательство теорем 1 и 2 для пространств Rn,
2. Пусть Ра - гауссовская мера на числовой прямой с параметрами та и
Оа, аеЯ. Показать, что семейство ^=={Ра; aefl) является плотным тогда и
только тогда, когда существуют константы а и Ь такие, что
3. Привести примеры плотных и неплотных семейств вероятностных мер ?F
- \Pa\ а е 3!}, определенных на S3 (Я*))-
§ 3. Метод характеристических функций
в доказательстве предельных теорем
1. Доказательство первых предельных теорем теории вероятностей-закона
больших чисел и теорем Муавра - Лапласа и Пуассона для схемы Бернулли -
основывалось на прямом анализе допредельных функций распределений Fn,
которые довольно просто выражаются через биномиальные вероятности. (В
схеме Бернулли суммируемые случайные величины принимают только два
значения, что и дает, в сущности, возможность явно найти функции Fn.)
Однако для случайных величин более сложной природы подобный метод прямого
анализа функций Fn становится практически неосуществимым.
Первый шаг в доказательстве предельных теорем для сумм произвольно
распределенных независимых случайных величин был сделан Чебышевым.
Предложенное им неравенство, известное теперь как "неравенство Чебышева",
не только дало возможность элементарно доказать закон больших чисел Я.
Бернулли, но и установить весьма общие условия справедливости этого
