Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
что эта последовательность является фундаментальной. Простой подсчет
показывает, что
lC"-U2 = 2l?"-iP + 2i?m-SP-4
?n + ?m
2 ъ|| •
:d2 и, следова-
Ясно, что ~п^ ~'m- ¦= X, поэтому
тельно, I In - ?" р -> 0, п,т-> оо
Пространство L2 является полным (теорема 7 § 10). Поэтому найдется
такой_элемент |, что |l?" - Множество X замкнуто,
поэтому %<=Х. Далее, ||?л - ||->d, следовательно, Ц - f| = d, что и
доказывает существование требуемого элемента.
Покажем, что | -единственный элемент в X с требуемым свойством. Пусть | е
X и
1 i-11 == 1 i-! I=rf.
Тогда (в силу задачи 3)
ii+i-2ip+if-fp=2|||-gf+2ii'-if=4da.
Но
; + 1-2|р = 4 Ц(| + |)-|
:4da.
Следовательно, || - ?р = 0, что и доказывает единственность "ближайшего"
к | элемента из X,
§ 11 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 291
Докажем теперь, что g - | _]_ В силу (20) для любого
c^R
iz-1-сц^а-ы.
Но
!?-|-cSt* = |?-?i2 + c4?P-2(g-i <?).
Поэтому
С2 2 (1-1, Cl). (22)
Возьмем с = Я(| -|, ?), Тогда из (22) получим, что
(1-1 №|1и2-2Я]:г,0.
При достаточно малых положительных X Я21[ 11|2 - 2Х < 0. Поэтому
(?-1, S) = 0,
Осталось доказать представление (21).
Множество Х = Х(г]1, т]2,...) является замкнутым подпространством в L2 и,
следовательно, само является гильбертовым пространством (с тем же самым
скалярным произведением). Для этого гильбертова пространства X система %,
rj2, ... является базисом (задача 4) и, следовательно,
СО
? = l.i.m. 2 (I. %)%• (23)
*=i
Но ? - | J_ П*, а значит, (§, r]ft) = (g, r]ft), k^sO, что вместе
с (23) доказывает (21).
Теорема доказана.
Замечание. Как и в конечномерном случае, § будем называть проекцией | на
X=X(r\lt г|2,...), % - | - перпендикуляром, а представление
- ортогональным разложением.
Величину | обозначают также М (^ | Дх, %*...) и называют условным
математическим ожиданием в широком смысле (I относительно т^, ri2,...). С
точки зрения оценивания ? по г^, г)2, ... величина | является оптимальной
линейной оценкой, ошибка которой
AsM|?-li2=ii-!f==iif-^ к?, т],)р.
;=i
что следует из (5) и (23).
292 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
7. Задачи.
1. Показать, что если ? = l.i.m. ?", то |1Л||-Ч1?!|-
2. Показать, что если | = l.i.m. ?" и т) = l.i.m. т)", то (?", т)л)-"-
Tl)-
3. Показать, что норма |J * |J удовлетворяет свойству "параллелограмма"
и + лР+1Б-лР = 2(Ш"+|т]Р).
4. Пусть {?,, ..., ?л} - семейство ортогональных случайных величин.
Показать, что для них справедлива "теорема Пифагора":
п !|2 п
Еь =2"ы2-
1=1 II ;=1
5. Пусть т)1( т)а, ... - ортонормированная система и X = =d?(r]t,
т)а,...) -замкнутое линейное многообразие, порожденное %, т)3 Доказать,
что эта система является базисом для
(гильбертова) пространства X.
6. Пусть ?1( ?г, ... -последовательность ортогональных случай-
СО
ных величин, = ... +1". Показать, что если М?а<оо,
П - 1
то найдется такая случайная величина S с MSa<co, что l.i.m.Sn = = S, т.
е. I Sn - S f = M | S" - S |2-*-0, со.
7. Показать, что в пространстве L2 - L2([-л, л], <?/8 ([-л, л]))
с мерой Лебега р система функций ^==е'1п, п = 0, ± 1,.. сбра-зует
ортонормированный базис.
§ 12. Характеристические функции
1. Метод характеристических функций является одним из основных средств
аналитического аппарата теории вероятностей. Наиболее ярко это будет
продемонстрировано в гл. III при доказательстве предельных теорем и, в
частности, при доказательстве центральной предельной теоремы, обобщающей
теорему Муавра - Лапласа. Здесь же мы ограничимся определениями и
изложением основных свойств характеристических функций.
Прежде всего сделаем одно замечание общего характера.
Наряду со случайными величинами (принимающими действительные значения)
теория характеристических функций требует привлечения комплекснозначных
случайных величин (см. п. 1 § 5).
Многие из определений и свойств, относящихся к случайным величинам, легко
переносятся и на комплексный случай. Так, математическое ожидание М?
комплекснозначной случайной величины ? = ! + (т) считается определенным,
если определены матема-
4 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 293
тические ожидания М? и Мтр В этом случае по определению полагаем М? = М?
-+- "Мт]. Из определения 5 (§ 5) независимости случайных элементов
нетрудно вывести, что комплекснозначные величины ^1 = il + iri1, ?2 = ?2
+ 1ТЬ, независимы тогда и только тогда, когда независимы пары случайных
величин (?х, т]х) и (|2, г|2), или, что то же самое, независимы а-алгебры
JF jti Т|1 и aF^ Л2.
Наряду с пространством L2 действительных случайных величин с конечным
вторым моментом можно ввести в рассмотрение гильбертово пространство
комплекснозначных случайных величин ? = = |-И'т] с М|?|2<оо, где |?|2 =
|2 + т12. и скалярным произведением (?1( ?2) = М?х?2, где ?2-комплексно-
сопряженная случайная величина. В дальнейшем как действительнозначные,
так и комплекснозначные случайные величины будем называть просто
случайными величинами, отмечая, если это необходимо, о каком конкретно
