Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
вероятность P(v = k || = х)"? Поскольку Р (! = *) = 0, то интересующая
нас "условная вероятность Р (v = 6|g = x)" пока не определена, хотя
интуитивно понятно, что эта вероятность должна быть равна C"xk (1 -x)n~k.
§ 7 УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ
227
Дадим теперь общее определение условного математического ожидания (и, в
частности, условной вероятности) относительно а-алгебр I, / и сравним его
с определением, данным в § 8 гл. I для случая конечных вероятностных
пространств.
2. Пусть (Q, aF, Р) - вероятностное пространство, & - некоторая а-
алгебра, & Е oF (^-о-подалгебра aF) и | = | (ш) -случайная величина.
Напомним, что, согласно § 6, математическое ожидание М| определялось в
два этапа: сначала для неотрицательных случайных величин а затем в общем
случае с помощью равенства
щ = М|+ - М|-
и только в предположении, что
min (М|_, М|+) < со.
Подобная двухэтапная конструкция применяется и при определении условных
математических ожиданий М (| | &).
Определение 1. 1) Условным математическим ожиданием неотрицательной
случайной величины \ относительно о-алгебры & называется неотрицательная
расширенная случайная величина, обозначаемая М (| | &) или М (| | &) (ш),
такая, что
a) М (||&) является ^-измеримой;
b) для любого
\ UP = \ M(!|#)dP. (1)
А А
2) Условное математическое ожидание М (| [ &), или М (| | &) (со),
произвольной случайной величины | относительно о-алгебры & считается
определенным, если Р-п. н.
min (М (|+ | &), М (|~ | &)) < оо,
и задается формулой
М(Ц?)е=М(!+|?)-М(|-|П
причем на множестве (нулевой вероятности) тех элементарных событий, для
которых М (|+1 ?¦) = М (|~ | &) - со, разность М (|+ | ?¦) - - М (|- | &)
определяется произвольно, например полагается равной нулю.
Прежде всего покажем, что для неотрицательных случайных величин M(|f^)
действительно существует. Согласно (6.36) функция множеств
Q (Л) = J | dP, А е <?, (2)
А
является мерой на (Q, ?•), которая -абсолютно непрерывна относительно
меры Р (рассматриваемой на (Q, &), aF). Поэтому (по теореме Радона -
Никодима) существует такая неотрицательная
228 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
^-измеримая расширенная случайная величина что
0(Л) = $ M(S|?)dP. (3)
А
Из (2) и (3) следует соотношение (1).
Замечание 1. В соответствии с теоремой Радона -Никодима условное
математическое ожидание М(Ц^) определяется однозначно лишь с точностью до
множеств P-меры нуль. Иначе говоря, в качестве М (Щ <&) можно взять любую
^-измеримую функцию / (со), называемую вариантом условного
математического ожидания, для которой О(Л) = $/(co)dP,
А
Отметим также, что в соответствии с замечанием к теореме Радона-Никодима
M(||^) = g(co), (4)
т. е. условное математическое ожидание есть не что иное, как производная
Радона-Никодима меры Q относительно меры Р (рассматриваемых на (Q,&)).
Замечание 2. В связи с соотношением (1) заметим, что мы не можем, вообще
говоря, положить М(|| <#) = !, поскольку случайная величина | не обязана
быть ^-измеримой.
Замечание 3. Предположим, что случайная величина | такова, что для нее
существует М|. Тогда М (| j S') можно было бы определить как такую "^-
измеримую функцию, для которой справедливо (1). Обычно именно так и
поступают. Приводимое нами определение М (| | S') s= М (|+ j S') - М (|_
| &) обладает тем преимуществом, что в случае тривиальной а-алгебры <^ =
{0, Q} оно превращается в определение М| и при этом оно не предполагает
существования М|. (Например, если | - случайная величина с М|+ = оо, М|_
= оо, a <^ = aF, то М| не определено, но в смысле определения 1 М (| j &)
существует и есть просто
6 = 5+-5-).
Определение 2. Пусть Ве/. Условное математическое ожидание М(/в|"^)
обозначается Р(В|<?), или Р(В|^)(ш), и называется условной вероятностью
события В относительно а-алгебры & s aF.
Из определений 1 и 2 следует, что для каждого фиксированного Ве/ условная
вероятность Р(В|<^) есть такая случайная величина, что:
а) Р(В\ё) является ^-измеримой, в) для любого
P(A{\B) = [P(B\Z)dP. (5)
А
§ 7 УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ
22Э
Определение 3. Пусть g -случайная величина и Sп - а-алгебра, порожденная
некоторым случайным элементом т). Тогда Md!^), если оно определено,
обозначаемся М (| j г|) или М (| j г|) (со) и называется условным
математическим ожиданием | относительно тр
Условная вероятность Р (В ] S^) обозначается Р (В [ г|) или Р(В|т|)((о),
и называется условной вероятностью события В относительно Г).
3. Покажем, что данное здесь определение М (? ! &) согласуется с
определением условного математического ожидания § 8 гл. 1.
Пусть & - ф1У D2>... } - некоторое конечное или счетное разбиение с
атомами Dt относительно вероятности Р (т. е.
P(D,)>0, и если ДдД, то или Р(Л) = 0, или Р(П,-|Л) = 0).
Теорема 1. Если S = а (5$) и \ - случайная величина, для
которой определено, то
М (II $) = рщ j I (Р-п. н. на Dt).
' Di
(Запись "| = т] (Р-п. н. на Л)", или "? = г| (Л; Р-п. н.)" означает, что
Р(ЛП{5#Л}) = 0.
