Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
5. Если ? и т) - независимые простые случайные величины, то, как и в
п. 5 § 4 гл. I, доказывается, что М|т] = М|-Мт]. Установим теперь
справедливость аналогичного утверждения в общем случае (см. также задачу
5).
Теорема 6. Пусть g и т) - независимые случайные величины с М j g j < оо,
М j г] | < оо. Тогда М | gr) | <; со и
Mgr] = Mg • М.]. (20)
Доказательство. Пусть сначала g^O, ц~^0. Положим
Е"=2
fc = 0 1" п )
со
Ч*=2т/Д^,вх'±1}<
А=0 I" п >
Тогда g"<g, |gn - g|<-^ и ri"<ri, |r)n-ri|< 1/п. Поскольку
Mg<oo, Мл<оо, то по теореме Лебега о мажорируемой сходимости
HmMg" = Mg, ПтМт1л = Мт).
Далее, в силу независимости g и г|
М?"л"= 2 М/{А<*+L|7/i_<T1<I±±l =¦
k, 0 n n I
= 2 5M/(A<l<5+irM//I<n<±h2l= M^'Mt1"-
k,l> 0 n J In n J
Заметим теперь, что
| MgT) - Mg"T)n | < M | gl) - 1пЦп К M [| g | • I T] - T|n |] -f-
+ M[|r)n|-|E-gn!]<^Mg + -i M (л + -M ->-0, "-?-oo.
Поэтому Mgri = lim Mg"r)n = Hrn Mg" ¦ lim Мг|л = Mg • Мл, причем
П
Mgr) < oo.
Общий случай сводится к рассмотренному, если воспользоваться
представлениями g = g+ - g~, г| = r]+ - тр, gr) = g+тр - g-r]+ - - g+^ +
g-!)"- Теорема доказана.
6. Приводимые в этом пункте неравенства для математических ожиданий
систематически применяются и в теории вероятностей, и в математическом
анализе.
§ 6 ИНТЕГРАЛ ЛИБЕГА МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
209
Неравенство Чебышева. Пусть ? - неотрицательная случайная величина, тогда
для всякого е >• 0
(21)
Доказательство сразу следует из того, что
Mg Ss М [g • /{|>Е}]' еМ/Е} = еР (? ^е).
Из (21) получаем следующие разновидности неравенства Чебышева, если ? -
произвольная случайная величина, то
Р(^е)<-^ (22)
и
P(|!_Mg|Sse)<-^.f (23)
где D? == М (| - М?)2 - дисперсия случайной величины ?.
Неравенство Коши - Буняковского. Пусть ? ы т] таковы, что М?2<оэ,
Mi)2<Coo. Тогда M|^ri[<oo и
(М | I)2 ^ М|2 • Mr]2. (24)
Доказательство. Будем предполагать, что М^2 >> 0, Mr)2 >>
>0. Тогда, обозначая 1 = ущ>> Л = у¦ находим, что поскольку
2 11ч J |2 -{- т)2, то
2М |г)|<М12 + М'|2 = 2,
т. е. М||т)|^1, что и доказывает (24).
Если же, скажем, Mg2s=0, то тогда по свойству I | = 0 (п. н.) и по
свойству F М&п = 0, т. е. (24) также выполнено.
Неравенство Иенсена. Пустьg = g(x) - выпуклая книзу борелевская функция и
М|?|<Соэ. Тогда
g№)^Mg(l). (25)
Доказательство. Если функция g - g(x) выпуклая книзу, то для каждого г0еК
найдется число К(х0) такое, что для всех х е R
g(x)^g(x0) + (x-x0)-X(x0). (26)
Полагая х = 1 и *0 = М?, из (26) находим, что
?(S)^?(Mg) + (g-M?)-MMg)
и, следовательно, Mg(?) Ssg(MQ.
210 ГЛ II МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Из неравенства Иенсена выводится целая серия полезных неравенств.
Получим, к примеру,
Неравенство Ляпунова. Если 0то
(М | g |f)1/s ^ (М | S Ю17'. (27)
Для доказательства обозначим r = t/s. Тогда, полагая л -lii* и применяя
неравенство Иенсена к функции g (х) = | х {, находим, j Mr] \r ^ М | л
\г, т. е.
(М j g |*)77s < М | g \l,
что и доказывает (27).
Из неравенства Ляпунова вытекает следующая цепочка неравенств между
абсолютными моментами!
МI g I "= (М I g I2)1/2 <... < (МI g Iпу/\ (28)
Неравенство Гёльдера. Пусть 1*<р<;со, 1<С<?<Ссо и у + Если M|gp<co,
М|л|4'<со, то M|gr)|<Cco и
M|g^|^(M|g|P)1/P(Mhl?)1/,?. (29)
Если М | g |р = 0 или М | г) |^ = 0, то (24) следует немедленно,
так же как и в случае неравенства Коши - Буняковского (являю-
щегося частным случаем неравенства Гёльдера при p = q = 2). Пусть теперь
М | g \р > 0, М | л |9 > 0 и
? | ~______ Л
(М|Ш 1/р' Л ~ (М | л
Воспользуемся неравенством
хауь sg; ах -f- by, (30)
справедливым для положительных х, у, a, b, a-f- b = 1 и вытекающим
непосредственно из свойства выпуклости кверху логарифмической функции:
In [ах -f- by] a In х -f- b In у = In хауь.
Тогда, полагая х - \р, у - л?, а = у> ^ = находим, чт0
lii<ygp + y?,
откуда
Mgfj + у Мл9 = у + "= 1.
что и доказывает (29).
§ 6Г ИНТЕГРАЛ ЛИБЕГА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ 2Н
Неравенство Минковского. Если М|^|/,<оо, М|л|р< <оо, 1 -Ср < сю, то М|? +
л|р<оэ 11
(М11+л | р)1/р < (М | g |р)1/р + (М! л !р)1/р. (31)
Установим прежде всего следующее неравенство: если а, 6 > О и р 5s 1, то
{а-\-Ь)Р^2Р-ЦаР + ЬР). (32)
В самом деле, рассмотрим функцию F {х) - (а + х)р - 2р~г х Х(ар + хр).
Тогда
F' (х) - р{а-f х)р-1 - 2P-ipxP-1,
и поскольку р^1, то E'(a) = 0, P'(a)>0 для х<а и Т7'(а)<0 для а > а.
Поэтому
F (Ь) - с max F(x) = F (а) = О,
что и дает неравенство (32).
В соответствии с этим неравенством
11 + л |р (j 51 +1Л l)p < 2^-1 (! I !р +1 л |р) (33)
и, значит, если Mj?|p<;oo, М|л!р<оо, то М [ ? -f- г) \р < оо.
Если р- 1, то неравенство (31) следует из (33).
Будем теперь предполагать, что р>1. Возьмем р>1 таким,
что - 4--=1. Тогда р Q
1? + л1р = 1? + лН?+л !р-1 < 111 • 11+л !p_1 +1 л I IS+л lp_1- (34)
Заметим, что (p-\)q = p. Поэтому
М (| I + г) Ip-1)? == М j I + л |р < оо, и, значит, в силу неравенства
Гёльдера
М (, II \1 + л ,р-1) (М 11 \pyip (М 11 + Т] р-1'чу/я =
= (М 11 \рур (М 11 + TJjpy/ч < со.
