Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ширяев А.Н. -> "Вероятность" -> 70

Вероятность - Ширяев А.Н.

Ширяев А.Н. Вероятность — МГУ, 1957. — 581 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnost1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 179 >> Следующая

Л Х-ЦЛ)
Следствие. Пусть (Е, E) - (R, SB (R)) и | | (ш) - случай-
ная величина с распределением вероятностей Р^. Тогда, если g =¦ = § (х) ~
борелевская функция и существует любой из интегралов \g(x)Pl(dx) или ^
?(?(")) Р(<М, то
Л |-МЛ)
\g(x)Pl(dx)= \ g (1(a)) Р (da), л 1-ЦЛ)
В частности, при A - Q получаем, что
М? (I М) = 5 g (I (")) Р (<И *=]g(x) Pi (dx). (43)
Q R
Мера однозначно восстанавливается по функции распределения Fi (теорема 1
в § 3). Поэтому интегралы Лебега ^g(x)Pi(dx)
я
часто обозначают \g(x)F^(dx) и называют интегралами Лебега -
R
§ б ИНТЕГРАЛ ЛИБЕГА МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ 215
Стилтьеса (по мере, соответствующей функции распределения Р%(х)).
Рассмотрим случай, когда функция распределения F^ (х) имеет плотность Д
(х), т. е. пусть
F%{x) = I fi (у) dy, (44)
- СО
где = (х) -- неотрицательная борелевская функция, а интеграл
понимается как интеграл Лебега по лебеговской мере на множество (-оо, х]
(см. замечание 2 в п. 1). В предположении (44) формула (43) принимает
следующий вид:
СО
Mg (?("))= $ g(x)f%(x)dx, (45)
- СО
где интеграл понимается как интеграл Лебега от функции g(x)fi(x) по
лебеговской мере. В самом деле, если g(x) = I в(х), B^M(R), то требуемая
формула превращается в равенство
Pl(B)=\fl(x)dx, B<=^(R), (46)
В
справедливость которого следует из теоремы 1 § 3 и формулы ^(&)-F*(a) =
SM*)d*.
а
В общем случае доказательство то же, что и в теореме 7.
9. Рассмотрим специальный случай измеримых пространств (П, eF) с мерой
р, где й = й1хй2, Jr = Jr-[0of2, а мера р = = Pi X р2 - есть прямое
произведение конечных мер рх и р2 (т. е. такая мера на <У, что
р1Хр2(Лх5) = р1(Л1)р2(5), Ле/j,
существование такой меры будет следовать из доказательства теоремы 8).
Приводимая далее теорема играет ту же самую роль, что и известная теорема
из анализа о сведении двойного интеграла Римана к повторному.
Теорема 8 (теорема Фубини). Пусть E = ?(cOj, со2) является <^10 3Т^-
измеримой функцией, интегрируемой по мере pjXpji
5 l?K> co2)|d(p1Xp2)<oo. (47)
?2j X
Тогда интегралы $ ^(ац, со2) рх (cfco1) и ^ ? (Wj., ^2)р2(с?ш2)
Q з
216 ГЛ II МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1) определены для всех со2 и со,; 2) являются sF2- и измеримы ми
функциями, соответственно,
Иг |ю2: 5 |?("Д. С02) I (Tj (dcot) = ooj = О, (Tj jco^ $|?(co1( co2)
|f.i2 (dco2) = ooj = 0
(48)
и 3)
J ?(co1; co2) d (i^ X p2) = J R IK. w2) f.i2 (dco2)] (T, (dcoj ==
X Q2 Qi Q2 J
= J R ?("i> со^^^Л^^Юа). (49)
Qa .^ 1 J
Доказательство. Покажем прежде всего, что для любого фиксированного сох е
П, функция Еш, (со2) = ? (сои со2) является
eFa-измеримой по со2.
Пусть F <= Jr1 0 aF2 и Ксо^ со2) = Iр (со,, со2). Обозначим Fa, - =
{co2eQ2: (coj, со2) е F} - сечение множества F в точке со1, и пусть i^to,
= {F <= aF; Fa, е aF2}. Надо показать, что для любого сох ^03, = aF.
Если F - AxB, Л esfj, В е aF2, то
В, если coj е А,
(АхВ)а, \ если
Поэтому прямоугольники с измеримыми сторонами принадлежат Далее, если F
<= aF, то (/%, =/•и', а если {Fn\n^> 1 -множества из aF, то ((J = U К,.
Отсюда следует, что Wai = eF.
Пусть теперь ?(со,, со2)^0. Тогда, поскольку для каждого функция ? (colt
со2) является ^-измеримой, то определен интеграл J !• (со,, со2) ц2
(dco2). Покажем, что этот интеграл является о*
aFj-измеримой функцией и
S П SK, co2)H2(dco2)jH1(dco1)= 5 i(coj, coJd^XHa). (50)
Qi Q2 J fij X Q"
Предположим, что Кац, co2) = IA x в (сох, co2), ЛевГ"
Тогда, поскольку /лхвК co2) = IA (со/) IB (co2), то
S ЬхвК, ю2) №2 (^co2) = I д (coj) 5 IB (co2) p2 (da2) (51)
q2 fis
и, следовательно, интеграл в левой части (51) является ^-измеримой
функцией.
Пусть теперь (Дссц, со2) = I? (со,, со2), /reaF = eF1(r) eF2. Покажем, что
интеграл /(ац) = ^ 1Р(сод, со2)ц2(с(сог) является aF-изме-
§ 6 ИНТЕГРАЛ ЛИБЕГА МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
217
римым. С этой целью обозначим ,% = {FeiJr: /(<ах)-^-измерима}. Согласно
доказанному множества Ах В принадлежат ?? (xleaFj, В е ef2), а значит, и
алгебра eF, образованная из конечных сумм непересекающихся множеств
такого вида, также принадлежит ?>. Из теоремы о монотонной сходимости
следует, что система ?? является монотонным классом, ?? = р(??). Поэтому
в силу включений eF s ^ Е aF и теоремы 1 из § 2 aF = о (eF) = = р (eF) Е
р (S') = <?f S aF, Т. е. S? = aF.
Наконец, если ? (coj, со2) - произвольная неотрицательная aF-измеримая
функция, то aFi-измеримость интеграла § | (сох, со2)х
Q 2
Xp2(dco2) следует из теоремы о монотонной сходимости и теоремы 2 § 4.
Покажем сейчас, что мера р = рхХр2, определенная на aF = = aFx (r) aF2 и
обладающая свойством рххр2 {А Xfl)=Pi И)- Р2 (В), А е aF1; В е aF2,
действительно существует и единственная.
Положим для Fe aF
8 (F) = S И 7V ((r)а) 82 (d(r)*)] 8х (d(r)i).
ft 1|_?3 2 j
Как было показано, внутренний интеграл является aFx-измери-мой функцией
и, следовательно, функция множеств р (F) действительно определена для Fe
aF. Ясно, что если F = AxB, то р (А хВ) = рх (А) р2 (В). Пусть теперь
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed