Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
основу экспериментального определения значения числа я. В самом деле,
пусть игла бросается независимым образом N раз. Определим равным 1, если
при i бросании игла пересекает коридор, и равным 0 в противном случае.
Тогда в силу закона больших чисел (см., например, (1.5.6)) для всякого
Именно эта формула и послужила основой для статистического определения
значения числа я. В 1850 г. Р. Вольф (Цюрих) брссал иглу 5000 раз и
получил для я значение 3,1596. По-видимому, этот способ явился одним из
первых методов (известных теперь под названием "метода Монте-Карло")
использования вероятностногстатистических закономерностей в численном
анализе.
7. Если 1 - последовательность неотрицательных слу-
чайных величин, то, согласно утверждению /) теоремы 2,
N
В этом смысле частота
и, значит,
?!+•••+ ~ я'
240 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
В частности, если Вх, В2, ...- последовательность попарно
непересекающихся множеств, то
Р(2ВЛ|В)=?Р(ВЛ|В) (п.п.). (22)
Важно подчеркнуть, что это равенство выполнено лишь почти наверное и,
следовательно, условную вероятность Р (В \ S') (со) нельзя рассматривать
при фиксированном со как меру по В. Можно было бы подумать, что, за
исключением некоторого множества (c)Р1 меры нуль, Р(.|^)(со) является все
же мерой для (ое(r)^. Однако это, вообще говоря, не так в силу следующего
обстоятельства. Обозначим эР (В., В,, ...) то множество исходов со, где
для заданных Вх, В.,,... не выполнено свойство счетной аддитивности (22).
Тогда исключительное множество &V есть
(r)Р' = [J (Bv Ва, ...), (23)
где объединение берется по всем непересекающимся множествам Вц В2, ... из
aF. Хотя P-мера каждого множества &Ж (Вх, В,, ...) равна нулю, P-мера
множества ар* может оказаться (в силу несчетности объединения в (23))
ненулевой (Вспомним, что лебе-говская мера отдельной точки равна нулю,
а мера множества
(эД^ = [0, 1), являющегося несчетной суммой одноточечных мно-
жеств {*}, 0=?^а-<1, равна единице).
В то же время было бы удобно, чтобы условная вероятность Р( • ] &) (со)
являлась мерой для каждого coeQ, Поскольку тогда, например, подсчет
условных вероятностей М (g | В) можно бы то бы осуществлять (см. далее
теорему 3) просто с помощью усреднения по мере Р(-|#)(со):
М (&,<?)= S g (со) Р (dco I S) (П.п.)
Q
(ср. с (1.8.10)).
Введем такое
Определение 4. Функцию Р (со; В), определенную для всех cog Q и Ве/,
назовем регулярной условной вероятностью относительно если:
a) для каждого we Q Р(со; •) есть вероятностная мера на aF;
b) для каждого Ве / Р (со; В) как функция от со есть один из вариантов
условной вероятности Р (В j S') (со), т. е. В (со; В) = = P(Bj^)(co) (п.
н.).
Теорема 3. Пусть Р(со; В) - регулярная условная вероятность относительно
& и \ - интегрируемая случайная величина. Тогда
М (| | &) (и) = $g (й) Р (со; d&) (п. н.). (24)
ft
§ 7 УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ 211
Доказательство. Если ? =/в, Вен of, то требуемая формула (24)
превращается в равенство
Р (В \ S) (col = Р (со; В) (п. и.),
выполнимое в силу определения 4 Ь). Следовательно, (24) выполнено для
простых функций.
Пусть теперь и E"f|, где - простые функции. Тогда
по свойству Ь) теоремы 2 М (? | <Р) (съ) = lim М (?" j S)(co) (п. н.).
П
Но поскольку для каждого со се Q Р (иг; •) есть мера, то по теореме о
монотонной сходимости
lim М (tn ! S) (со) = lim f tn (со) P (co;dco) = lim \ ? (со) P (со; dS).
П n Q П Q
Общий случай сводится к рассмотренному с помощью представления ! = ?+ -
Теорема доказана.
Следствие. Пусть ?¦ = &ц, где "р - случайная величина, причем пара (?, р)
имеет плотность распределения вероятностей fin(x, у). Пусть М [§¦ (^) [ <
оо, тогда
ОО
M(g-(?)ip = c/)= ^ g(x)k,T\(x\y)dx,
- со
где Д I л (х | у) - плотность условного распределения (см. (18)).
Чтобы сформулировать основной результат о существовании регулярных
условных вероятностей, нам понадобятся следутощие определения.
Определение 5. Пусть (Е, ?) - измеримое пространство и X = X (со) -
случайный элемент со значениями в Е и ^-о-подалгебра af. Функция Q (со;
В), определенная для иёйи Ве1, называется регулярным условным
распределением X относительно S, если:
a) для каждого шей Q (со; В) есть вероятностная мера на (Е, ?);
b) для каждого Bel Q(a>', В) как функция от со есть один
из вариантов условной вероятности Р (X ее. В ! S) (со), т. е.
Q(со; В) = Р (X е В | S) (со) (п. и.).
Определение 6. Пусть ? -случайная величина. Функция
F = F(со; х), со е П, геК, называется регулярной функцией распределения
для | относительно если:
a) для каждого со е Q F (со; х) есть функция распределения на R;
b) для каждого х е R F(со; х) - Р (? х\ S) (со) (п. н.).
242 ГЛ И. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Теорема 4. Всегда существуют регулярная функция распределения и
регулярное условное распределение случайной величины ? относительно
Доказательство. Для каждого рационального r^R обозначим Fr(co) =
P(|scr|i?)(co), где Р(|^г|Д)(со) = М(/{|<л}р)(со) - какой-нибудь вариант
