Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
{Кл} - непересекающиеся множества в aF. Тогда
И (S /Г") = S Г S ^гНи.ЮМ^Лр! (dcoj =*
a.Lo, J
Pi (dcoj) =
8x (dco1) = 2p(F'1),
= 52
Qt n
-2Л
n Q,
§ Ipn ((r)2) p2 (dw2)
?2, "i
\ IFn (co2) p2 (dco2) Яз (r)'
т. e. p является мерой (a-конечной) на aF.
Из теоремы Каратеодори следует, что эта мера р является единственной
мерой со свойством р (А х В) = рх (А) р2 (В).
Установим теперь формулу (50). Если I (сох, со2) = /лхв((01> (r)2)> А е
aFх, В е aF2, ТО
5 /лхв("х> со2М(р1Хр2) = р1Хр2(Ях.б), (52)
?3 г X ?2 2
и так как /лхв((r)х> (r)2) = 1а (щ) h ((r)2)> т0
$П/лхв((r)х, co2)p2(dco2)lp1(dco1) =
0,|_йг J
= I I1 A ((r)x) \ I в (<0x, (r)2) p2 (dco2) 1 px (d(0x) = Px (A) p2 (B).
(53)
a,L a, J
218 ГЛ ТТ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Но по определению меры РхХр2
Рх х и2 (А X В) = Hi (А) р2 (В).
Поэтому из (52) и (53) следует справедливость (50) для ? (0ц, со2) =? =
/лхв(мо ю2).
Пусть теперь К(r)1> "г) = 7f(coi. (r)г). F Функция множеств
Я(К) = ^ /f(C0i, (02)d(fiiXfA2), BeaF
?21 х ?2 2
является, очевидно, о-конечной мерой. Нетрудно проверить также, что
таковой же является функция множеств
¦<н=ПП'
?21 |_?2 2
Иссц, С0г) fj,2 (<ico2)l (dcOi).
Как было установлено выше, Я и v совпадают на множестве вида F = AxB, а
значит, и на алгебре erf. Отсюда по теореме Кара-теодори следует, что Я и
v совпадают для всех F е aF.
Перейдем теперь к доказательству собственно утверждений теоремы Фубини. В
силу (47)
$ К((r)1, (02) d(KixKa) <°°> $ К (сОр со2) d (рг Хр2) < со.
?2jX ?23 ?2i X ?22
Согласно доказанному интеграл $ К((r)и "г) 44 (d(r)i) является
?23
eFx-измеримой функцией от <"х и
$ П "г) Ка (rf(r)2)l Рх (efoi) = $ l+ ((r)1. "2) d (Рх X p2) <
CO.
n,Loj J о,хй2
Поэтому в силу задачи 4 (см. также свойство J в п. 2)
$ со2) р2 (dco2) < оо (рх-п. н.).
?2 2
Точно так же и
\ K("x, (02)px(dc0x)<00. (El-п- Н.),
ва
а значит,
$ |K(r)i. ю2) | рг (dco2) < оо (рх-п. н.).
?2 2
Ясно, что за исключением некоторого множества имеющего
Рх-меру нуль,
$ 1(6"!, (02) р3 (dco2) =
= $ ?+ ((r)1> (r)а) Ка (аЩ) ~ ) Ъ~ ((r)ь (r)а) Ка (d(r)a)- (54)
6 ИНТЕГРАЛ ЛНБЕГА МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
219
Полагая входящие сюда интегралы равными нулю для coj е , можем считать,
что (54) выполнено для всех сох е Тогда, интегрируя (54) по мере рх и
учитывая (50), получим, что
5 П I ("!, со2) р2 (dco2)l Pi (da,) =
fii
= 5 Г S ^+("1. co2)p2(dco2)lp1(dco1)-
?1 1 _ ?2 2 _i
- 5 [5 ?-("!, co2) p2 (dco2)] px (dcOi) = 5 ?+("i> -
- 5 ?"("i, co2)d(p1Xp2) = 5 I (a,, co2) d (px X
p2).
QiXfis B,X?2s
Аналогичным образом устанавливается первое соотношение в (48) и равенство
5 1(а>и со2) d (pi X р2) = J [J g (col со2) рх (da,)
^ i X ^ а ^ 2 Ы 1
р2 (da.2).
то
Теорема доказана.
Следствие. Если J J II ((r)ц "г) I Н-2 (с?о>2)П jlii (da,) < сю,
??i J
утверждения теоремы Фубини также выполнены.
Действительно, при сформулированном условии из (50) следует (47), а
значит, справедливы и все утверждения теоремы Ф)бнни.
Пример. Пусть (Е, г|) - пара случайных величин, распределение которых
имеет двумерную плотность f^(x, у), т. е.
Р ((?, Т]) <= В) = J fln (х, у) dx dy, В ЕЙ (R2), в
где ^ - неотрицательная S3 (?)2)-измеримая функция, а
интеграл понимается как интеграл Лебега по двумерной лебеговской мере.
Покажем, что тогда одномерные распределения для Е и т] также имеют
плотности f\(x) и /у,(у), причем
М*) = $ У)йУ
-СО
со
/я (у) - 5 ft7\ (х> У) ^Х'
(55)
220 ГЛ II МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
В самом деле, если Лей(^), то по теореме Фубини Р(?е Л) = Р((?, т1)еЛх*)=
$ fln(x, y)dxdy =
AXR
¦ $ р hn (х> У) dy^ dx,
что и доказывает как наличие плотности распределения вероятностей у так и
первую формулу (55). Аналогично доказывается вторая формула.
Согласно теореме из § 5, для того чтобы случайные величины ? и т] были
независимы, необходимо и достаточно, чтобы
hnix, y) = F%{x)Fi\(y)> (** У)<^К2-
Покажем, что в случае наличия двумерной плотности /^(х, у) величины ? и
т] независимы тогда и только тогда, когда
/А, (х, y)=fi(x) /" (у) (56)
(равенство понимается почти наверное относительно двумерной лебеговской
меры).
В самом деле, если выполнено (56), то по теореме Фубини F\,, (х, у) =
= $ кц(х, y)dxdy= $ /& (х) /,, (у) dx dy =
(-со, х] х(-СО, у] (-СО, *]х(-со, у]
= $ h(x)dx( $ fr](y)dy\ = Fl(x)Fniy)
(-со,*] \(-со, у] j
и, следовательно, | и т] независимы.
Обратно, если они независимы и имеют плотность /^(х, у), то опять-таки по
теореме Фубини
$ hi\ (х, у) dx dy =
(-00, *]x(-00, у]
= (' 5 f%{x)dx\! 5 fn(y)dy) =
\(-со, *] J {(-CO, y] j
= $ h[x)f4(y)dxdy.
(-00, *]X(-00. ?/]
Отсюда следует, что для любого В е Зд (R2)
\кг,(х' У) dx dy = \fl{x)f^{y)dxdy, в в
и из свойства I легко вывести, что выполнено (56).
§ 6 ИНТЕГРАЛ ЛИБЕГА МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
221
10. В этом пункте будет рассмотрен вопрос о соотношениях между
интегралами Лебега и Римана.
Прежде всего отметим, что конструкция интеграла Лебега не зависит от
того, на каком измеримом пространстве (П, <F) заданы подлежащие
