Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ширяев А.Н. -> "Вероятность" -> 77

Вероятность - Ширяев А.Н.

Ширяев А.Н. Вероятность — МГУ, 1957. — 581 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnost1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 179 >> Следующая

е Л П В2), равенство которых следует из независимости Е и т]. В общем
случае доказательство проводится с применением теоремы 1 из § 2 о
монотонных классах (ср. с соответствующим местом в доказательстве теоремы
Фубини).
Определение 4. Условной вероятностью события А се S при условии, что т) =
у (обозначение: Р (А | т] = у)), будем называть
М (/л [ Л = ^)-
Понятно, что Р(А\т\ - у) можно было бы определить как такую S3 (Р)-
измеримую функцию, что
Р(ЛП{Т1"=В})= JPMIti^P,,^), В ЕЕ S3 (R). (17)
в
6. Приведем некоторые примеры вычисления условных вероятностей и
условных математических ожиданий.
Пример 1. Пусть т] - дискретная случайная величина с
СО
Р(Ц = Уь)>0, 2 Р(Т1 = Ы = !¦ Тогда
Для уф{ух, у2, ...¦} условную вероятность Р(А\г\ - у) можно определить
произвольным образом, например положить равной нулю.
Если случайная величина, для которой существует Mg, то
М<НЧ-*.)= -РО-У ( ^Р-
{ш:ч = "Д
Условное математическое ожидание М (Е | ц = у) для у <ф \ух, у2,...}
определяется произвольно (например, полагается равным нулю).
Пр имер'2. Пусть (Е, т]) - пара случайных величин, распределение которых
обладает плотностью fin(x, у):
Р {(Е, т])еВ|= $ (х, у) dx dy, B<=zS3 (R2).
в
§ 7 УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ 237
Пусть (х) и /л (у) - плотности распределения вероятностей случайных
величин ? и г] (cmv (6.46), (6.55), (6.56)).
Обозначим
i / I \ ^ /101
полагая ft п(х\у) = 0, если [У](у) = 0.
Тогда
Р(?е С|т) = т/)= \h^{x\y)dx, C^dR(R), (19)
с
т. е. ^(*|^) есть плотность условного распределения вероятностей.
В самом деле, для доказательства (19) достаточно убедиться в
справедливости фор-мулы (17) для B<=ef3(R), Л^{?е=С}.
В силу (6.43), (6.45) и теоремы Фубини
h(y)dy =
^ Г S h! ч (х \ У) dxl Рц (dy) = $ П АI л (* I У) dx в [с J в Lc
= S fl,ri(x\y)f1i(y)dxdy= ^ fly](x, у) dx dy =
Схв схв
= P{(g, т|)е=СхД} = Р{(?е=С)П(т)е=Я)},
что и доказывает (17).
Аналогичным образом устанавливается следующий результат: если Mg
существует, то
СО
М (g ! п = т/) == $ xfl^{x\y)dx. (20)
- СО
Пример 3. Пусть длительность работы некоторого прибора описывается
неотрицательной случайной величиной т] = т](со), функция распределения
которой F^(y) имеет плотность f^(y) (естественно, что Fr](y)=f1](y) = 0
для г/< 0). Найдем условное математическое ожидание М (т] - а | т) 5= а),
т. е. среднее время, которое прибор еще проработает в предположении, что
он уже проработал время а.
Пусть Р (т] ^ а) > 0. Тогда, согласно определению (см. п. 1) и (6.45),
М (т] - а | т] ^ а) =
СО
М[(л-")
~ Р (ri Зг а) - Р (л & а) ~ ~
\ [ц (У) dy
238
ГЛ II МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Интересно отметить, что если случайная величина ц экспоненциально
распределена, т, е.
то Мц = М (ц | ц Ss 0) = 1Д и для любого а >0 М (ц - a I T]Ssa) = 1 Д.
Иначе говоря, в этом случае среднее время, которое прибор еще
проработает, в предположении, что он уже проработал время а, не зависит
от значения а и совпадает просто со средним временем Мт].
В предположении (21) найдем условное распределение Р (т] - т] 5га).
Таким образом, условное распределение Р(т] - a х [ ц ;>= а) совпадает с
безусловным распределением P(t)s^a). Это замечательное свойство
экспоненциального распределения является характеристическим: не
существует других распределений с плот-
чайным" образом. Пусть ? - расстояние от центра иглы до левой стенки.
Будем предполагать, что ? равномерно распределено на отрезке [0, 1], а
(см. рис. 29) угол 0 равномерно распределен на [- л/2, л/2]. Кроме того,
будем предполагать ? и 0 независимыми.
Пусть А - событие, состоящее в том, что игла пересечет стенку коридора.
Легко видеть, что если
(21)
Имеем
Р(ц - asSx|t]^sa)
Р (a =sS г) gg а + х)
Р (ц^а) ~~
(a + x) -F^ (a) + P (ц = а) [ 1 - е~^<а+х'] - [ 1 - е~^а]
1- Fr) (а) + Р (Л = ") ?^!И=?^1=1_е-Ч
1- [1- е^-а]
g-ko
ностями, обладающими свойством Р (г) - a ==5
х | г) ^ а) = Р (ц eg х), а 5^ 0, 0^х<Соо.
Пр и мер 4 (игла Бюффона). Пусть на "коридор" бесконечной длины и
единичной ширины (рис. 29) на плоскости "случайным" образом бросается
игла единичной длины. Спрашивается,
Рис. 29.
какова вероятность того, что игла пересечет (по крайней мере одну) стенку
коридора?
Чтобы решить эту задачу, определим прежде всего, что означает, что игла
бросается "слу-
В = {(я, х): |я| <
е[0, 1/2 cos a] (J 1 - у cos а, 1 |,
то Л = {со: (0, ^)еЯ), и значит, интересующая нас вероятность Р(Л) = М/лН
= М/в(0(со), ?(<о)).
§ 7. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ
239
В силу свойства G* и формулы (16)
М/л (6 (со), ? (со)) = М (М [/в (0 (со), I (со)) I е (со)]) = = М [1В (6
(со), I (со)) I 6 (со)] Р (da) =
Q
я/2
= $ М[1в(6(а), % (<о)) j 6 (со) = a] Pe (da) =¦
- л/2
я/2
-=~ j UIB(a, ?(w))da=^ j cosada = ~,
- л/2
- я/2
где мы воспользовались также тем, что
Ml в (а, I (со)) = Р е [0, 1/2 cos ст] U [ 1 - 1/2 cos а]} = cos а.
Итак, вероятность того, что "случайным" образом брошенная на коридор игла
пересечет его стенки, равна 2/я. Этот результат может быть положен в
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed