Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Точно так же и
М (| л 115 +Л !р-1) ^ (М | л 1р)1/р (М | 5 +л Iр)1/|?.
Поэтому в силу (34)
М 11 + л 1р ^ (М 11 + л IРУ19 ((М 111ру/р + (М j л |р)1/р). (35)
Если М j ? +г] |р = 0, то требуемое неравенство (31) очевидно. Пусть
теперь М|? + г]|р>0. Тогда из (35) находим
1 L
(М | % + л |р) ч "? (М111ру/р + (М | л |р)|/р, что и дает требуемое
неравенство (31), поскольку 1- ~ = j~.
21-2 гл п. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
7. Пусть | - случайная величина, для которой определено
математическое ожидание М|. Тогда, согласно свойству D, определена
функция множеств
Q (Л) = {j ? dP, ЛеЕеГ. (36)
А
Покажем, что эта функция является счетно-аддитивной.
Предположим сначала, что ^ - неотрицательная случайная величина. Если А1Г
А2, ... - попарно непересекающиеся множества из / и А - ^Ап, то в силу
следствия к теореме 1
Q (А) = М (| • IA) = М (Н • /х ап) = М (v i. lAj =
Если же | - произвольная случайная величина, для которой определено, то
счетная аддитивность а И) следует из представления
а(Л) = а+(Л)-а-И), (37)
где
Q^(A)=^dP, Qr{A)=ll-dP,
А А
установленной счетной аддитивности для неотрицательных случайных величин
и того факта, что min(Q+(Q), Q~ (Q)) < сю.
Итак, если М| определено, то функция множеств 0 = 0(Л) является мерой со
знаком - счетно-аддитивной функцией множеств, представимой в виде Q = Ql
- Qi, где по крайней мере одна из мер Qx или Q2 конечна.
Покажем, что функция множеств 0 = 0(Л) обладает следующим важным
свойством абсолютной непрерывности относительно меры Р:
если Р(Л) = 0, то О(Л) = 0 (Л е/)
(это свойство кратко записывают в виде: Q<^P).
Для доказательства достаточно рассмотреть случай неотрица-
П
тельных случайных величин. Если \ хь1лк - простая неот-
*=1
рицательная случайная величина и Р(Л) = 0, то
Q (Л) = М (g • 1А) = ? xkP (Ak П Л) = 0.
fe = i
Если же {!"}"> 1 - последовательность неотрицательных простых функций
таких, что ?л|?=^0> т0 п0 теореме о монотонной
§ 6 ИНТЕГРАЛ ЛИБЕГА МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
213
СХОДИМОСТИ
Q (Л) = м (? •/л) = lim М (?л •/л) = О,
поскольку М(?"-/л) = 0 для любого 1 и Л с Р(Л) = 0.
Итак, интеграл Лебега 0(Л) = ^?^Р, рассматриваемый как
А
функция множеств Л е sF, является мерой со знаком, абсолютнонепрерывной
относительно меры Р (Q<JP). Весьма замечательно, что имеет место и
обратный результат.
Теорема Радона -Никодима. Пусть (Q, aF) - измеримое пространство, р - о-
конечная мера и X -мера со знаком {т. е.
- где по крайней мере одна из мер или Х2 конечна), являющаяся абсолютно
непрерывной относительно р. Тогда существует aF-измеримая функция / =
/(со), принимающая значения в R = [- оо, со] такая, что
% (Л) = jj/ (со) р (do), Ле/. (38)
А
С точностью до множеств р-меры нуль функция / (от) единственна: если /г -
/г (со) - другая aF-измеримая функция такая, что X (А) = jj h (со) р
(dco), Л е /, то р {со: / (со) Ф h (со)} = 0.
А _
Евли Х - мера, то / = /(со) принимает значения в ?)+ = [0, оо].
Замечание. Функция / = /((r)) в представлении (38) называется производной
Радона - Никодима или плотностью меры X
~ dX dX , .
относительно меры р, и обозначается или (со).
Теорема Радона - Никодима, приводимая без доказательства, Судет играть
ключевую роль в конструкции условных математических ожиданий (§ 7).
П
8. Если ? = 2 XJа. - простая случайная величина, то
i = I '
Mg-(g) = Lg{xi) Р (Л,) = ? g (xt) ^ (x,). (39)
Иначе говоря, для подсчета математического ожидания функции от (простой)
случайной величины | нет надобности знать всю вероятностную меру Р, а
достаточно знать распределение вероятностей или, что эквивалентно,
функцию распределения F| случайной величины
Следующая важная теорема обобщает это свойство.
Теорема 7 (о замене переменных под знаком интеграла Лебега). Пусть (Q,
aF) и (Е, Ш) - два измеримых пространства и X = X (со) - of/S-измеримая
функция со значениями в Е. Пусть Р - вероятностная мера на (И, aF) и Рх -
вероятностная мера
214 ГЛ 1Г. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
на (Е, S), индуцируемая Х = Х (со):
Рх (А) = Р {со: Х(<а)еЛ}, А<=%. (40)
Тогда для всякой ё-измеримой функции g = g(x), лей
\g(x)Px(dx)= \ g (X (со)) Р (da), (41)
А Х_,(Л)
(в том смысле, что если существует один из интегралов, то определен и
второй, и они совпадают).
Доказательство. Пусть множество и g(x) = Ig(x),
где В е S. Тогда искомое соотношение (41) превращается в равенство
РЛ(ЛВ) = Р(Х-1(Л)ПХ-1(В)), (42)
справедливость которого следует из (40) и замечания, что Х~г(А) |"| ПХ-
1(В) = Х-1(ЛПВ).
Из (42) вытекает, что (41) справедливо для неотрицательных простых
функций g = g(x), а значит, в силу теоремы о монотонной сходимости (41)
справедливо и для произвольных неотрицательных S-измеримых функций.
В общем же случае надо представить функцию g в виде
g+ - g~ и заметить, что, поскольку для функций g+ и g~
равен-
ство (41) справедливо и если, например, ^ g+ (х) Рх (dx) < со, то
л
и $ g+ (X (ш)) Р (da) < со, а значит, из существования
Х-ЦА)
\g(x)Px(dx) следует существование интеграла $ g(X (со))Р (da).
