Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ширяев А.Н. -> "Вероятность" -> 75

Вероятность - Ширяев А.Н.

Ширяев А.Н. Вероятность — МГУ, 1957. — 581 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnost1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 179 >> Следующая

Доказательство. Согласно лемме 3 из § 4 на Dt М (? I ^) - = Ki, где /С -
постоянная. Но
Теорема доказана.
Таким образом, введенное в гл. I понятие условного математического
ожидания М(?|Ж) относительно конечного разбиения SS = {Dlt ... , Dn}
является частным случаем понятия условного математического ожидания
относительно а-алгебры З' = а(&).
4. Свойства условных математических ожиданий. (Будем предполагать, что
для всех рассматриваемых случайных величин математические ожидания
определены и а-алгебра S s dF).
А*. Если С - постоянная и ? = С (п. и.), tno М (| | S) = С (п. и.).
В*. Если g =s^ г) (п. н), то М (g j S) М (г| | S) (п. и.).
С*. | М (| | S) | =sS М (|| 11 S) (п. н.).
D*. Если а, Ъ -постоянные и аМ^ + ЬМт] определено, то
М (аЦ-Ьр j S) = аМ (| | S)-\-b\A (т) | S) (п. н.).
или, что то же,
\ldP = \M(l\S)dP=KiP(Di),
D
откуда
230 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Е*. Пусть eF* = { ф , Q} - тривиальная а-алгебра. Тогда М(||^,) = М| (п.
н.).
F*. М(||-<^) = | (п. н.).
G*. М (М (| | &)) = М|.
Н*. Если ? ^2, то
М[М(|р2)|^1] = М(|р1) (п. н.).
I*. Если SX^.SV то
М[М(||Л)1Л] = М(||^2) (п. н.).
J*. Пусть случайная величина |, для которой Mt определено, не зависит от
а-алгебры S (tn. в. не зависит от 1В, В S). Тогда
М (||^) = М| (п. н.).
К*. Пусть т] - S-измеримая случайная величина, М hl< оо и М | |ti | < о°
. Тогда
М (| л | S) = т]М (I | S) (п. н.).
Приведем доказательства этих свойств.
А*. Функция, равная постоянной, измерима относительно S, Поэтому остается
лишь проверить равенство
$|dP = \CdP, A<=S.
А А
Но в силу предположения | = С (п. н.) и свойства G из § 6 это равенство
выполнено очевидным образом.
В*. Если |<;т1 (п. н.), то по свойству В из § 6
$|dP<$ridP, A^S,
А А
а значит,
I М (| | S)dP < \ М (Т]\S)dP, А е=^.
А А
Тогда требуемое неравенство следует из свойства I (§ 6).
G*. Это свойство вытекает из предыдущего, если учесть, что -
D*. Если множество A^S, то, согласно задаче 2 из § 6, $ (а| 4- br\)dP = $
а| dP -f- $ й-ц dP = $ аМ (| | S) dP -f-
Л AAA
+ S&M(t||"?)dP= \{aM(l\&) + bM(r\\S)] dP,
A A
что и доказывает свойство D*,
§ 7 УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ 231
Е*. Это свойство следует из замечания, что Mg является gF* - измеримой
функцией и-того факта, что если Л = ?2 или Л = ф, то очевидным образом
$gdP = $MgdP.
А А
F*. Поскольку g - sF-измерима и
$ЫР= \ldP, Ле/,
А А
ТО М (|| of) = g (П. Н.).
G*. Это свойство вытекает из Е* и Н*, если взять =
= {ф' Q] и J^ = #.
Н*. Пусть Ле#]; тогда
5 М (| ] ?г) dP = $ g dP.
А А
Так как то ^ s и, значит,
$ М [М (g | jy I dP = $ М (g I &л) dP = $ g dP.
А А А
Следовательно, для Ле^
jM(g|>1)dP= SMtMdi^i^jdP
А А
и по свойству I (§ 6) и задаче 5 (§ 6)
M(g[jy = M[M(g|^2)|jy (п. н.).
I*. Если Ле^,, то по определению М [М (g j &2) (jy
$ М [М (g | ?,) | ^] dP = S М (g I ^)*dP.
л л
Функция M(g|jy является ^"-измеримой и, поскольку
то и ^-измеримой. Отсюда следует, что М (g | с^2) есть один из
вариантов условного математического ожидания М [М
что и доказывает свойство I*.
J*. Поскольку Mg является ^-измеримой функцией, то остается проверить,
что для любого
$gdP = $MgdP,
А А
т. е. что M[g-7B] = Mg-M/B. Если М 111 < оо, то это сразу следует из
теоремы 6 § 6. Общий случай сводится к этому с применением результата
задачи 6 из § 6.
232 ГЛ II МЛТтЛТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Доказательство свойства К*, опирающееся на утверждение
а) следующей далее теоремы 2, будет дано несколько позднее.
Теорема 2 (о сходимости под знаком условных математических ожиданий).
Пусть {\п}п^\- последовательность расширенных случайных величин.
a) Если ji"jsST), Мт)<со и (п. н.), то
М(?П|^)->М (Ъ\$) (п- н.)
и
М(|Е"-^||^)->0 (п. и.)
b) Если г|, Mri> - СО и In ti (п- н-) т0
M(E"p)tM(IP) (п. н.).
c) Если Mr) < СО и (п. н.), то
М(?Я|^)|М(Е|#) (П. н.)
d) Если т|, Mri> - сю, то
М (lim 1п | ?¦) lim М Цп | &) (п. н.).
e) Если Mi] < со, то
lim М (?" | S') ^ М (lim ?" | &) (п. н.).
f) Если 0, то
= (П. н.).
Доказательство, а) Пусть ?" = sup ||m -?!• Поскольку
т^п
(п. н.), то 0 (п. н.). Математические ожидания М?" и М? конечны, поэтому
в силу свойств D*-h С* (п. н.)
Поскольку М (?"+11 &) М (?" I &) (п. н.), то (п. н.) существует предел h
- lim М (?" [ &). Тогда
П
О ^ jj h dP "s jj М (?" | S') dP - jj ?" dP -> 0, ti -> со,
tJ ?2 О
где последнее утверждение следует из теоремы о мажорируемой сходимости,
поскольку 0^Cn^2ri, Мт1-<со. Следовательно, ^hdP - О и по свойству Н h =
0 (п. н.).
§ 7. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ 233
Ь) Пусть сначала т] = 0. Поскольку М (g" | S') ^ М (Е"+113) (п. н.), то
существует (п. н.) предел ?(со) = limМ (g" \&). Тогда
П
из равенства
$g"dP= $M(g"|^)dP, Ле>,
Q Q
и теоремы о монотонной сходимости $gdP=$?dP,
А А
Следовательно, по свойству I и задаче 5 § 6 ? = ? (п. н.)
Для доказательства в общем случае заметим, что 0 sg ?"u f ?+, и по
доказанному
M(gS|?)tM(g+|?) (п. н.). (7)
Но М?-<со, поэтому в Силу а)
М(&|<?)-*М(?-т
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed