Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
если вместо лебеговской меры % рассмотреть меру р, а вместо интегралов
Римана и Лебега рассмотреть соответствующие интегралы Римана- Стилтьеса и
Лебега - Стилтьеса по мере р.
11. Задачи.
1. Доказать представление (6).
2. Показать, что справедливо следующее обобщение свойства Е. Пусть ? и р
-случайные величины, для которых определены М? и Мр и выражение М? + Мр
имеет смысл (не имеет вида оо - оо или -oo-f-oo). Тогда
М (? + "n) = Mg + Mr].
3. Обобщить свойство G, показав, что если ? = г| (п. н.) и М? существует,
то Мг| также существует и Мт^М!.
4. Пусть ? -расширенная случайная величина, р - а-конечная мера, §
|?Др<оз. Показать, что тогда | ? | < оо (р-п. н.) (ср. со
а
свойством J).
5. Пусть р -a-конечная мера, ? и р- расширенные случайные величины, для
которых Mg и Мр определены. Тогда, если для всех \ 1 dP "S § л то Т1
(Р'п< н-)- (^Р- с0 СВ01"|СТв0м ••)
А А
6. Пусть | и г] - независимые неотрицательные случайные вели-41 ны.
Показать, что тогда М?т] = М? • Mrp
7. Используя лемму Фату, показать, что
Р (Пт Ап) ^ Hm Р (Ап), Р (lim Ап) ¦ lim Р (А").
8. Привести пример, показывающий, что в теореме о мажорируемой сходимости
условие "Цл^И- Mrj<oo" не может быть, вообще говоря, ослаблено.
9. Привести пример, показывающий, что в лемме Фату условие "Ел^т], Mti> -
со" не может быть, вообще говоря, отброшено.
10. Доказать справедливость следующих вариантов леммы Фату.
Пусть семейство случайных величин {\п)пт?i равномерно интегрируемо и
MlimL существует. Тогда
lim M^Ml im 1п
§ б. ИНТЕГРАЛ ЛИБЕГА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
225
Пусть |лй^т|п, п 1, где семейство {r\n}n^i равномерно интегрируемо и т)"
сходятся п. н. (или только по вероятности - см. да тсе § 10) к некоторой
случайной величине т). Тогда ПшМ^< sc; М lim %п.
11. Функция Дирихле
определенная на [0, 1], интегрируема по Лебегу, но не интегрируема по
Риману. Почему?
12. Привести пример последовательности интегрируемых по Риману функций
заданных на [0, 1] и таких, что |/"(^1, fn -> / почти всюду по мере
Лебега, но f не интегрируема по Риману.
13. Пусть (atj\ i, /^^ - последовательность действительных чисел таких,
что ^ | atj \ <а. Вывести из теоремы Фубини, что
14. Привести пример последовательности (а^\ i, / 1), для
которой '^i\aij\ = oo и равенства в (62) несправедливы.
15. Отправляясь от простых функций и используя теоремы о предельных
переходах под знаком интеграла Лебега, доказать справедливость следующего
результата об интегрировании с помощью подстановки.
Пусть h - h (у) - неубывающая непрерывно дифференцируемая функция на
интервале [a, b], a f (х) - интегрируемая (по мере Лебега) функция на
интервале '[/г (a), h(b)]. Тогда функция f(h(y)) h'(у) интегрируема на
[а, b] и
16. Пусть | - неотрицательная случайная величина с функцией
распределения F^(x). Показать, что
1, х -иррациональное, 0, х - рациональное,
1.1
(62)
ь
j f(x)dx = \f{h (у)) h' {у) dy.
а
со
Щ= S[l-F6(*)]d*
о
и для любой константы с^О
с
Mmin(?, с) = $[1 -/ч (x)]dx.
о
226 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
17. Пусть glf 12, ... - неотрицательные интегрируемые случайные величины
такие, что М?л->-М? и для всякого е>0 Р (I - ?л>е)->0. Показать, что
тогда М|?л -?|-"-0, п-*- со.
18. Пусть I, г), ? и 1п, т)л, ?л, п ^ 1, -случайные величины такие, что
Ъп-^l, Л =3 1,
М?л-нкМ?, Млл->-Мг),
и математические ожидания т, мл, т конечны. Показать, что тогда
справедлива следующая лемма Пратта: М?Л->М?.
Если к тому же т]л"=0"=?л, то М|?л - ?|->-0.
Вывести отсюда, что если ?л-^-?, М ||л |-"-М| ё | и М] ?1 <Соо, то М|?л -
?|->0.
§ 7. Условные вероятности и условные
математические ожидания относительно о-алгебр
1. Пусть (Q, <F, Р) - вероятностное пространство, и событие Л е /
таково, что Р(Л)>0. Как и в случае конечных вероятностных пространств,
условной вероятностью события В относи*
Р (ВЛ^
тельно А (обозначение: Р (В | А)) будем называть величину ~р ^"
а условной вероятностью события В относительно конечного или счетного
разбиения & = {Dlt Da, ...} с Р(Ог)>0, is^l (обозна* чение: Р (В | !&))
назовем случайную величину, равную Р (5 | Dt) для со е Dt, г Sa 1.
Аналогичным образом, если ? -случайная величина, для которой определено
MS, то условным математическим ожиданием § относительно события А с
Р(Л)>0 (обозначение: М(?| А)) будем
называть величину (СР- с (1.8.10)).
Случайная величина Р (В \ ?Р) является, очевидно, измеримой относительно
а-алгебры ^ = а {&), в связи с чем ее обозначают также Р (В\?') (см. § 8
гл. I).
В теории вероятностей приходится, однако, сталкиваться с необходимостью
рассмотрения условных вероятностей относительно событий, имеющих нулевую
вероятность.
Рассмотрим, например, следующий эксперимент. Пусть | - слу" чайная
величина, равномерно распределенная на [0, 1]. Если |=л% то
подбрасывается монета, у которой вероятность появления "герба" равна х, а
"решетки" - (1 - х). Пусть v -число появлений "герба" при п независимых
подбрасываниях такой монеты. Спрашивается, чему равна "условная
