Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Условие "!5л|^т]> Мт} < оо", входящее в лемму Фату, теорему о
мажорируемой сходимости и обеспечивающее выполнение формул (7)
-(9), можно несколько ослабить. Для формулировки соот-
ветствующего результата (теорема 4) введем
Определение 4. Семейство случайных величин называется равномерно
интегрируемым, если
sup ^ с -"оо, (10)
или (в других обозначениях)
sup М [| |" | 7{||п | 0, с-"-оо. (11)
§ 6 ИНТЕГРАЛ ЛИБЕГА МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ 205
Ясно, что если случайные величины ?", п^г 1, таковы, что |^л]йСг], Мл<со,
то семейство {?"}"> i будет равномерно интегрируемым.
Теорема 4. Пусть {Нл}л> i -семейство равномерно интегрируемых случайных
величин.
a) Тогда ____
М lim Insg; lim МЕЛ ¦ lim М|л sg M lim ?".
b) Если к тому же (п. ".), тогда случайная величина %
интегрируема и
п -> со,
М 0, л-> со.
Доказательство, а) Для всякого с>0
т"=м [u{in < -,} ]+м [i"/{6л > _ с}]. (12)
В силу равномерной интегрируемости для всякого е>0 можно с выбрать столь
большим, что
sup j М [?"/||л <_ с}]) < е. (13)
В силу леммы Фату
М [^7{5Л > -с}\ Ss М [limJB/{|л > - с}],
Но Ел/(?л>-с} поэтому
lim М\U{i" 5а - с}] 55 М [lim ?л|. (14)
Из (12) -(14) находим, что
lim Mg" М [lim Щ - s.
В силу произвольности е>0 отсюда следует, что lim Ss М 1гт Ёл. Аналогично
доказывается неравенство с верхними пределами. Утверждение Ь) вытекает из
а) так же, как и в теореме 3. Аналогичным образом доказывается, что lim
М?" sg М lim Zn. Что же касается утверждений Ь), то они доказываются так
же, как соответствующие утверждения в теореме 3.
Наиболее полно значение понятия равномерной интегрируемости раскрывается
в следующей теореме, дающей необходимое и достаточное условие для
предельного перехода под знаком математического ожидания.
Теорема 5. Пусть 0=sS?"->? и М?л<со. Тогда М?"-> <; оо тогда и только
тогда, когда семейство случайных величин {ln}n^i равномерно интегрируемо.
206 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Доказательство. Достаточность следует из утверждения Ь) теоремы 4. Для
доказательства необходимости рассмотрим (не более чем счетное) множество
Л = {а: Р(? = а)>-0}. Тогда для каждого афА ->¦|/{|<а}> причем семейство
величин
{lnl[in<a}}n>i будет равномерно интегрируемым. Поэтому в силу
"достаточности" M?"/jgn<a} ->¦ М?/{е<а}, афА, а значит,
ц>а), афА, п со. (15)
Зафиксируем е>0 и выберем сначала я#е4 столь большим, что М?/{|>м<е/2, а
затем N0 столь большим, что для всех
ti^sN о
Щп1 a0J =s? М?/{| >0") + е/2,
и значит, Щп1 ^n>aoj Выберем, наконец, ах^а0 и столь
большим, что для всех ns^N0 =sS е. Тогда
sup МЕл/,? >ал <е,
П УП1.)
что и доказывает равномерную интегрируемость семейства слу-чайных величин
{?л}п>1-
4. Остановимся на некоторых критериях равномерной интегрируемости.
Прежде всего заметим, что если {?"} - семейство равномерно интегрируемых
случайных величин, то
sup М | ?" | < оо. (16)
П
В самом деле, для фиксированного е>0 и достаточно больших с> 0
sup М | In | = sup [М (| I" | /(| е" | > *}) + м (i In I /{I \п | <,})] <
<supM(| \n\I{\in | >c}) + sup M (j g"| /( |nl<c))<;e + c,
что и доказывает (16).
Оказывается, что условие (16) вместе с так называемым условием
"равномерной непрерывности" является необходимым и достаточным для
равномерной интегрируемости.
Лемма 2. Для того чтобы семейство случайных величин {Ел}л>1 было
равномерно интегрируемо, необходимо и достаточно, чтобы М|Е"|, n^sl, были
равномерно ограничены (т. е. выполнено условие (16)) и чтобы МЦЦД/Д, п^\,
были равномерно непрерывны (т. е. sup М {| \п | /Д-"-0, когда Р(Л)-э-О).
§ 6 интеграл либега математическое ожидание
Доказательство. Необходимость. Условие (16) было проверено выше. Далее,
М {| In | Ia} = М {| In | 1ап {; | > с}} + М {I In I 1ап{\ ъп | <с}} <
^М{|Ел|/{;5л|>с}} + ср(Л). (17)
Выберем с столь большим, что sup М j| \п 11{\1п | >с}} е/2. Тогда,
если P(i4)sge/2c, то из (17)
БирМ{|Ел|/л}<е,
П
что и доказывает равномерную непрерывность.
Достаточность. Пусть е>0 и б>0 таково, что из условия Р(Л)<6 ^следует,
что равномерно по ti М (| \п | /л) Поскольку для всякого с>0
М ( In М \tn | 1{\%п\>с) SscP { I In |Ssc}
(ср. с неравенством Чебышева), то
sup Р {Jg"|>с}<4-sup 0, с ->¦со,
п с
а значит, для достаточно больших с в качестве множества А можно взять
любое из множеств {\%п\^с}, п^ 1. Поэтому sup М (| ?"| /|||л|>с}) =<8,
что и доказывает равномерную интегрируемость. Лемма доказана.
В следующем предложении дается удобное достаточное условие равномерной
интегрируемости.
Лемма 3. Пусть |г, ?2, ... - последовательность интегрируемых
случайных величин и G - G (t) - неотрицательная возрастаю-
щая функция, определенная для /2г0, такая, что
Пт-^т^" -°°" (18)
t-"со
sup М [G (Цп ))] < оо. (19)
П
Тогда семейство случайных величин {%п}п;si является равномерно
интегрируемым.
Доказательство. Пусть е>0, М = sup M[G(|?"|)], а =
П
Выберем с столь большим, что -Для t^c* Тогда
1 м
М[[ |.|/, к., s.)]<Am[G(| 5.1). равномерно по всем 1.
208
ГЛ II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
