Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ширяев А.Н. -> "Вероятность" -> 76

Вероятность - Ширяев А.Н.

Ширяев А.Н. Вероятность — МГУ, 1957. — 581 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnost1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 179 >> Следующая

что вместе с (7) доказывает Ь).
Утверждение с) вытекает из Ь).
d) Пусть ?" = inf gm, тогда ?, где ? = limgn. Согласно b)
т^п
M (?" I S') t M (? I J>) (п. H.). Поэтому (п. н.) M (Hm g" | = M
(? | S) =
= lim M (?" [ <?) = lim M (?" f <?) Hm M (?" [ <?).
П
Утверждение e) вытекает из d).
f) Если tn^sO, то по свойству D*
м(2 u\A= 2 (п. h.),
\k=i / k=i
что вместе с b) и доказывает требуемый результат.
Теорема доказана.
Приведем теперь доказательство свойства К*. Пусть г] = 1В, Bei, Тогда для
всякого
$?т^Р = ^ gdP = ^ M(gp)dP = $/BM(g|J>)dP =
Л ЛПВ ЛПВ л
= StiM(g|?)dP.
л
В силу аддитивности интеграла Лебега равенство
^ ?т] dP = ^ tjM (I | dP, Ле^ (8)
A A
234 ГЛ II МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВ \НИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
останется справедливым и для простых случайных величин т] =*
П
- 2 вк' Bk е S'. Поэтому по свойству I (§ 6) для таких * = 1
случайных величин
М (?г) [ ?) = т)М (I \ &) (п.и.). (9)
Пусть теперь т] - произвольная ^-измеримая случайная величина с М j г) |
< со и {т]п}п> 1 -последовательность простых соизмеримых случайных
величин таких, что |г)"|=^г) и Тогда в силу (9)
М (|г)" | &) = т]"М (? | &) (п. н.).
Ясно, что |?r)n[=s?|?ii|, где М | grj | < оо. Поэтому по свойству
а) М(^"|^)->М(^|^) (п. н.). Далее, так как М z < , то
М(||^) конечно (п. н.) (см. свойство С* и свойство J (§ 6)). Поэтому
r)JVI (? | &) -> т)М (| | &) (п. н.) (Предположение о конечное(tm) почти
наверное М (|| <&) существенно, поскольку, согласно сноске
на стр. 190, 0-оо = 0, но если ч\п = \/п, т]2=0, то -^--оот^0-сю = 0.)
5. Рассмотрим подробнее структуру условных математических ожиданий
обозначаемых, как было условлено выше,
также через М(?|т]).
Поскольку М (| | ii) является ^-измеримой функцией, то, согласно теореме
3 из § 4 (точнее - очевидной ее модификации для расширенных случайных
величин)^найдется такая борелевская функция т = т(у), определенная на R и
со значениями в R, что для всех со е Q
т (Л (w)) = М (| | т)) (со). (10)
Эту функцию т(у) будем обозначать через М (| | т) = у) и называть
условным математическим ожиданием | относительно события |г) = г/}, или
условным математическим ожиданием ? при условии, что г\ -у,
В соответствии с определением
^ IdP = ^ М (?, | л) dP = I т (г)) dP, (11)
А А А
Поэтому по теореме 7 § 6 (о замене переменных под знаком интеграла
Лебега)
^ m(r\)dP= \т{у) РЛ{йу), B^S3(R), (12)
{ок чеВ) В
где Рц - распределение вероятностей т]. Следовательно, т - т(у) есть
борелевская функция такая, что для всякого B^<?B(R)
$ I dP = $ т {у) dPrp (13)
{ок лев 1 В
§ 7 УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ 235
Это замечание подсказывает, что к определению условного математического
ожидания М (? | т] = у) можно прийти и иначе.
Определение 3. Пусть | и Ti-случайные величины (быть может, и
расширенные) и М| определено. Условным математическим ожиданием случайной
величины | при условии, что г\ = у, назовем всякую 3S (/?)-измеримую
функцию т = т(у), для которой
5 ldP=\m(y)P1](dy), B<=<?B(R). (14)
{и: ЧбВ) В
Тот факт, что такая функция существует, следует из той же теоремы Радона
- Никодима, если заметить, что функция множеств
Q (В)= \ IdP
{и: us В}
является мерой со знаком, которая абсолютно непрерывна относительно меры
Рц.
Предположим теперь, что т (у) есть условное математическое ожидание в
смысле определения 3. Тогда, применяя снова теорему о замене переменных
под знаком интеграла Лебега, находим, что
5 ldP= \m(y)Pn(dy)= J m(r])Pn(dy), B<=33{R).
{оклей} В {GKTieB}
Функция^ m (ri) является ^-измеримой, и множествами {o):risB}, (R),
исчерпываются все множества из Отсюда вытекает, что т (ri) есть
математическое ожидание M(?h). Тем самым, зная М (? | т] = у), можно
восстановить М (| [ т]) и, наоборот, по М(?|т]) найти М(||т] = #).
С интуитивной точки зрения условное математическое ожидание М(?|т]=0)
является более простым и понятным объектом, нежели М(?|т]). Однако
математическое ожидание М (I | ц), рассматриваемое как ^-измеримая
случайная величина, более удобно в работе.
Отметим, что приведенные выше свойства А* - К* и утверждения теоремы 2
легко переносятся на условные математические ожидания М (? | т) = г/) (с
заменой "почти наверное" на "Тупочти наверное"). Так, например, свойство
К* переформулируется следующим образом: если М 11 [ < со, МI If (Л) I <
СО, где / = /("/) - - <?В (Я)-измеримая функция, то
М ШOn) IЧ-У) = /(*/) М(Е1Л = */) (Т'п'П. н.). (15)
Далее (ср. со свойством J*), если ^ и г) независимы, то
M(?h = "/) = M? (Туп. н.).
Отметим также, что если B^.<?B(R2) н I н t\ независимы, то
М[/д(|, т1)Ь=У]='М/д(?, у) (Рч-п. р.), (16)
236 ГЛ It. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
и если ф = ф(х, у) - S3 (^-измеримая функция такая, что М | ф (g, т])|<
со, то
М[ф(Е, 'П)1'П = г/] = М[ф(1, у)] (Рг,-П. Н.).
Для доказательства (16) заметим следующее. Если B = то для справедливости
(16) надо лишь проверить, что
\ 1в1Хвг (I, л) р (da) = J M/BiXb2 (t, У) Рц (dy).
{(0:iieA) (f/sA)
Но левая часть есть Р {Е е Вг, т] е А |~| В2}, а правая -Р^е BR х X Р (Л
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed