Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
199
В этом случае по определению полагают
Mt = Мёт - Ms-.
Математическое ожидание М| называют иначе интегралом Лебега (от функции \
по вероятностной мере Р).
Определение 3. Говорят, что математическое ожидание случайной величины |
конечно, если МД < со и Ms~<co.
Поскольку 111 = -г 5~> т0 конечность М?, или |М||<со, эквивалентна тому,
что М,с <с>о. (В этом смысле интегрирование по Лебегу носит "абсолкпный"
характер.)
Замечание 2. Наряду с математическим ожиданием Ms важными числовыми
характеристиками случайной величины h являются величины МД (если они
определены) и М | г, г~> 0, называемые соответственно моментом г-то
порядка (r-м моментом) и абсолютным моментом r-то порядка (г-м моментом)
случайной величины ?.
Замечание 3. В данном выше определении интеграла Лебега ^ | (ю) Р (dco)
предполагалось, что мера Р является вероятностной й
(Р (Q) = 1), а aF-измеримые функции (случайные величины)? принимают
значения в R = (-со, со). Предположим теперь, что р - произвольная мера,
заданная на измеримом пространстве (Q, 7) и принимающая, быть может,
значение +сю, а ? = Е (со) - ^-измеримая функция со значениями в Д = [-
со, со] (расширенная случайная величина). В этом слу чае интеграл Лебега
Н (от) ц (da)
Li
определяется тем же самым способам: сначала для неотрицатель ных простых
I (по формуле (2) с заменой Р на р), затем д тя произвольных
неотрицательных | и в общем случае по формуле
^ I (со) р (da) = ^ (da) - $ Д-р(с?ю).
Q Я Я
если только не возникает неопределенности вида со -со.
Для математического анализа особо важен стучай, когда (Q, 7) - (R, 7(R)),
а р-мера Лебега. В этом случае интеграл
по со
\ | (х) р (dx) обозначают ')t(x)dx, илн \l(x)dx, 111И (L) [i('A)d*,
R R -Л -Д
чтобы подчеркнуть отличие этого интеграла от интеграла Рнмгна
СЭ
(R) l(x)dx. Если же мера р (Лебега - Стнлтьеса) соответствует
- СО
некоторой обобщенной функции распределения G - G(x), то интеграл J ? (х)
р (dx) называют также интегрален Лебега- Стилтье-R
са и обозначают (L-S) § s (х) G (dx), чтобы отличать его от соответ-R
200 ГЛ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
стсующего интеграла Римана - Стилтьеса (R-S) $ ? (x) G (dx) (см.
R
далее п. 10).
Из дальнейшего (свойство D) станет ясно, что если М? определено, то
определены также математические ожидания М (11а)
для любого Ле/. Для М(?/л), или, что то же, \UAdP,
а
часто используются обозначения М (?; А) и \ldP. Интеграл $Z,dP
л л
принято называть интегралом Лебега от ? по мере Р на множестве А.
Аналогично и в случае произвольной меры р вместо jj ? • IA dp
и
пишем jj?dp. В частности, если р -n-мерная мера Лебега -
А
Стилтьеса, А = {а1, 61]х...Х(ял" Ьп], то вместо ^ ? dp, используем
А
К Ьп
запись ^ S Кх1> •••> А'л) р (d\\,..., dxn). Если р -мера Лебега,
а1 ап
то вместо р (йхъ ..., dxn) пишем просто dx, ... dxn.
2. Свойства математического ожидания М? случайных величин ?.
A. Пусть с -постоянная и Мс существует. Тогда М (сЕ) также существует и
М(с|) = сМ?.
B. Пу сть ? 'Т т], тогда
М? -ту Mri
в том смысле, что
если - ос < М?, то - оосМц и M?sSMn
или
если Мц < оо, то М; < со и МЕ =?У Мг].
C. Если М? существует, то
|M?|-ssM |?|.
D. Если М? существует, то для каждого Л е ef М (Ул) также существует',
если Мё конечно, то М(?/д> также конечно.
E. Если ? и т) - неотрицательные случайные величины, или такие, что
М|?|<оо, М|г)|-<оо, то
М (? + "п) = М? + Мц.
(По поеоду обобщения этого свойства см. задачу 2).
Приведем доказательство свойств А -Е.
§ 6 ИНТЕГРАЛ ЛИБЕГА МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
201
A. Для простых случайных величин утверждение очевидно. П^сть Е^О, | Е,
где -простые случайные величины, и сЗзО. Тогда cln f cl и, значит,
М (с?) = lim М (cln) = с lim Ме" = сМ?.
п п
В общем случае надо рассмотреть представление ? = S+ - и заметить, что
для cS^O, (с?)+ = сс+, (cl)~ = ct~, а для с<0 (cl)+- = -cl-, (cl)- = -
cl\
B. Если OsSH^r], то и Mr] определены и неравенство
сразу следует из формулы (6). Пусть теперь М? > - оо, тогда Мс~-<со. Если
HsSir], то|+^г]+и cr^rf. Поэтому Mrp sg =сМё~<со, следовательно, Mr)
определено и MS = MSf - Ms- =sS
Мт)+ - Mi]- = Мг|. Аналогичным образом рассматривается случай, когда
Мг]<со.
C. Поскольку - j Е | Н j Е |, то из свойств А и В
- M|!|ssM?=s2M[E|,
т. е. j ME I М , Е I-
D. Следует из В и того, что
(Нл)+ = HU ^ ?+, (Иа)~ = HI а ^ И.
E. Пусть Е^=0, т]^:0 и пусть {?"} и {г)"} - последовательности простых
функций таких, что Е" f Е, г]я f г). Тогда М ('?" + г(")- = Мё" + Мт)я и
М(НЯ + Т1") f М (S + r|). Mt" f Mg, Mr)" f Mr) и, значит, M (Н + Л) = Mt
-ф Mr). Случай, когда М|?(<оо, М | r| j < оо, сводится к рассмотренному,
если воспользоваться тем, что ? = = - I1 = n+ -й"" E+=sSi?|. =sS I i
[ и ir^hll-
Следующая группа утверждений относительно математических ожиданий связана
с понятием "P-почти наверное". Будем говорить, что некоторое свойство
выполнено "Р-почти наверное", если существует множество (c)Т~ е / с Р
((r)Т'°) = 0 такое, что это свойство выполнено для каждой точки to е Q\(c)^.
