Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
2. Убедиться в справедливости формулы (7).
3. Провести доказательство теоремы 2.
4. Показать, что функция распределения F = F (х) на R имеет не более чем
счетное число точек разрыва. Справедлив ли соответствующий результат для
функций распределения в Л?л?
5. Показать, что каждая из функций
является непрерывной справа, возрастающей по каждой переменной, но не
является (обобщенной) функцией распределения в R2.
6. Пусть р -мера Лебега - Стилтьеса, отвечающая непрерывной обобщенной
функции распределения. Показать, что если множество А не более чем
счетно, то р(Л)=0.
7. Пусть с -мощность континуума. Показать, что мощность борелевских
множеств в Rл равна с, а лебеговских - 2е.
8. Пусть (Q, aF, Р) -некоторое вероятностное пространство и &F - алгебра
подмножеств Q такая, что a(&F) = aF. Используя принцип подходящих
множеств, доказать, что для всякого е Д> О и Ве / можно найти такое
множество А е &F, что
9. Пусть Р - вероятностная мера в (Rn, S3(Rn)). Используя задачу 8,
доказать, что для всякого е>0 и B^<P3{Rn) можно
У I X
I 0, х-р У < О,
G (х, у) = [х-Ру] - целая часть х-р у,
Р (А д В) sg е.
186 ГЛ II МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
найти такой компакт Лей (Rn), что Л = В и
Р(5\ Л)=е=е.
(Этот результат используется в доказательстве теоремы 1.)
10. Проверить согласованность мер, задаваемых формулами (21).
§ 4. Случайные величины. I
1. Пусть . (Q, "Г)- некоторое измеримое пространство и
(Я, S3 (R)) - числовая прямая с системой борелевских множеств S3{R).
Определение I. Действительная функция ? = ?(со), определенная на (Q, aF),
называется а?-измеримой функцией или случайной величиной, если для любого
B<=S3(R)
{со: 1(а>) <=S} е aF, (1)
или, что то же самое, если прообраз (S) = {со: ? (со) ее В}
явля-
ется измеримым множеством в П.
В том случае, когда (Q, S) = (Rn, S3{Rn)), S3 (/^-измеримые функции
называют борелевскими.
Простейшим примером случайной величины является индикатор 1А (со) любого
(измеримого) множества Ле aF.
Случайная величина представимая в виде
СО
?И=2*</л.( со), (2)
i=i
где ?Л; = Й, At<=S, будет называться дискретной. Если же в (2) сумма
конечна, то такая случайная величина будет называться простой.
Следуя той же интерпретации, что и в § 4 главы I, можно сказать, что
случайная величина есть некоторая]числовая характеристика эксперимента,
значения которой зависят от "случая" со. При этом требование измеримости
(1) важно, и вот по какой причине. Если на (Q, aF) задана вероятностная
мера Р, то тогда имеет смысл гозорить о вероятности события (со: ^(и)еВ(,
состоящего в том, что значения случайной величины принадлежат некоторому
борелевскому множеству В.
В этой связи дадим такое
Определение 2. Вероятностная мера на (R, S3 (R)) с
РДВ) = Р{ со: |((о)еД}, В ее S3 (R),
называется распределением вероятностей случайной величины с на (R, S(R)).
<5 4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. I
187
Определение 3. Функция
Ft(x) = Р (со: ? (со) х (=. R,
называется функцией распределения случайной величины ?.
Для дискретной случайной величины мера /У сосредоточена не более чем в
счетном числе точек и может быть представлена в виде
pl(B) = I] P(xk)> (3)
{k\ д:keB)
где р (xk) = Р = xk] = ДF% (xk).
Очевидно, что верно и обратное: если представимо в виде (3), то ?
является дискретной случайной величиной.
Случайная величина | называется непрерывной, если ее функция
распределения F\ (х) непрерывна по xei?.
Случайная величина | называется абсолютно непрерывной, если существует
неотрицательная функция f=f^(x), называемая плотностью, такая, что
X
h (х) = $ h (у) dy, x<=R, (4)
- СО
(интеграл понимается в смысле Римана, а в более общем случае-в смысле
Лебега;гсм. далее § 6).
2. Установление того, что некоторая функция g = g(co) является
случайной величиной, требует проверки выполнимости свойства (1) для всех
множеств В е а?. Следующая лемма показывает, что класс таких "пробных"
множеств может быть сужен.
Лемма 1. Пусть Ш - некоторая система множеств такая, что а (Ш) = <?6 (R).
Для того чтобы некоторая функция | = ?(со) была J2"-измеримой, необходимо
и достаточно, чтобы
{со: g (со) <= Щ е oF (5)
для всех ?ef.
Доказательство. Необходимость очевидна. Для доказательства достаточности
опять воспользуемся принципом подходящих множеств.
Пусть J?- -система тех борелеЕских множеств D из S3 (R), для которых
|_1(D)eaF. Операция "взятия прообраза" сохраняет, как нетрудно проверить
теоретико-множественные операции объединения, пересечения и дополнения:
E-,(UB"] = US-,(Sd.
\ а У а
ИПВа) = П^(^)> (6)
\ а У а
188 гл п mvtcm мичгскне основания теории вероятностей
Отсюда следует, что система U) является а-алгеброй. Значит,
Е ^ 2J g= Sd (R)
и
a(E)s=o(3r) = &^?e(R).
Но о (Е) - 33 (R), следовательно, ?6~33(R).
Следствие. Для того чтобы ? = |(со) была случайной величиной, необходимо
и достаточно, чтобы для любых х <= R
{со: ?(со)<л'}еаГ,
или
{со: ^ (со) '-Д х} ?= аТ,
Доказательство сразу следует из того, что каждая из систем множеств
