Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
(Rn)) и обобщенные функции распределения в Rn. В том случае, когда
обобщенная функция распределения Gn (xt ... лг") равна х1 ... х",
соответствующая мера называется
П
с, /=1
Гц = Г а
-------------------- ехр (---------------
2лст1аа В 1 - р- I 2(1 - (Д)
- + (14)
X
где а, >¦ 0, | р ! < 1. (Смысл пара-
Рис. 28. Плотность двумерного нормального распределения.
178 ГЛ П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
мерой Лебега на борелевских множествах пространства Rn. Ясно, что для нее
П
Я (а, Ь]= П {bi-a,),
t = 1
т. е. мера Лебега "прямоугольника"
(а, ?>] = (я1( bJx.-.XK, Ьп]
равна его "объему".
4. Измеримое пространство (R00, S (RS)). В случае пространств Rn,
"5=1, вероятностные меры строились по следующей схеме: сначала для
элементарных множеств - прямоугольников вида (а, Ь], затем естественным
образом на множествах вида Л = >](а,-, Ь,] и, наконец, с помощью теоремы
Каратеодори - на множествах из Si (Rn).
Аналогичная схема построения вероятностных мер "работает" и в случае
пространства (RS, Si т).
Обозначим через
Sn (В) = {х ен (х,, .... TjeS), B<=S3{Rn),
цилиндрическое множество в пространстве R00 с "основанием" Вей(1?л). Как
мы сейчас увидим, именно цилиндрические множества естественно считать
темн элементарными множествами в Рй°, по значениям вероятностей которых
определяется вероятностная мера на множествах из Si(Rx).
Пусть Р -некоторая вероятностная мера на (R6°, Si (R^)). Обозначим для п
- 1, 2, ...
Pn(B) = P(&n(B)h B^S3(R% (15)
Последовательность вероятностных мер Р" Р2, ..., определенных
соответственно на (R, Si{R)), (R2, Si(R2)), ..., обладает следующим
очевидным свойством согласованности: для любого п- = 1, 2, ... и В
f=Si(Rn)
Рп+1 (BxR) = Pn (В). (16)
Весьма примечательно, что имеет место и обратный результат. Теорема 3
(теорема Колмогорова о продолжении меры в (/?", SHR00)). Пусть Plt Р2,
... - последовательность вероятностных мер на (R, <?B(R)), (R2, S) (R2)),
..., обладающих свойством согласованности (16). Тогда существует и притом
единственная вероятностная мера Р на (, S{Rr°)) такая, что для каждого п
= 1, 2, ...
Р (S" (В)) = Рп (В), В е= S (/?"). {17)
§ 3 ЗАДАНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 179
Доказательство. Пусть Bn<=PJ3(Rn) и е?п (Вп) - цилиндр с "основанием" Вп.
Припишем этому цилиндру меру Р (а7л (В'1)), полагая Р (<?7п(Вп)) -
Рп(Вп).
Покажем, что в силу условия согласованности такое определение является
корректным, т. е. значение Р(э7п(Вп)) не зависит от способа представления
цилиндрического множества е7л(Вл). В самом деле, пусть один и тот же
цилиндр представлен двумя способами:
Зп (Я") = 6^ (5"+*).
Отсюда следует, что если (xv ..., л:"it) ё то
(хи ..., а'л) еВло (xlt x"ti)eS"+', (18)
и, значит, в силу (16) и (18)
Рп (Вп) = Рп+1 {{хь хп^): (хг, хл)ёВ")=...=
- Рп+к ((-Н, • ¦ • 1 %п-к) • (И* • * * > ^ ВП) -
= Рл+;" (В^*).
Обозначим аР? (R~~°) совокупность всех цилиндрических множеств Вп = о? п
(Вп), Bn^P3(Rn), п= 1, 2, ...
Пусть теперь Вг, ..., Вк - непересекающиеся множества из еД? (Rх'). Без
ограничения общности можно считать, что все они таковы, что для
некоторого п В,-= а?,, (В"), г = 1, ..., k, где Si, ..., B'l -
непересекающиеся множества из Sj(Rn). Тогда
р! j] в,) - р f 2 (в?) j = вл (' 2 в?) = 2 рп (в?) = 2 р (в,),
4=1 / ч - 1 ! -< = 1 / i = i i=i
т. е. функция множеств Р конечно-аддитивна на алгебре oxf (R^).
Покажем, что Р непрерывна в "нуле", т. е. если последовательность
множеств Вп\ф, п-*- оо, то Р(Вл)-*-0, п->-оо. Предположим противное, т.
е. пусть lim В (В") = б > 0. Без ограниче-
П
ния общности молено считать, что последовательность {Вп} такова, что
Вп = {х: (хи .... хл)<ееВл}, BneJ(K").
Воспользуемся следующим свойством (см. задачу 9) вероятностных мер Рп на
(Rn, Q93 (Rn)): если Bn^S3{Rn), то для заданного 6 > 0 можно найти такой
компакт Ап <= РЗ (Rn), что Ап<=, Вп и
Вя(Вл\Ля)<6/2"+1.
Поэтому, если
Ап = {х: (х1г хп) бЛ"},
180
ГЛ II МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕН
ГО
Р {Вп \Лп) = Рп (В" \ Ап) S 8/2"
П
Образуем множество Сл = Р) Ак, и пусть Сп таковы, что
4 = 1
Сп" \Х' O'-Я " • • • > %п) *= Сп\•
Тогда, учитывая, что мпожеава Вп убывают, находим
Р (ВП\С")<2 Р(Вп\Ак)^ %Р(Вк\А11)^ 6/2.
k=\ k=\
Но по предположению lim Р (Вп) = б > 0, значит, ПтР(Сл)^
П П
Зз6/2>0. Покажем, что это противоречит тому, что Сп\ф. Действительно,
выберем в множествах Сп по точке х{п) =
= (4"\ 4'°, •••)• Тогда для каждого "уз 1 (4"\ 4'1) е С".
Пусть (пг) - некоторая подпоследовательность последовательности (л)
такая, что х\Пх)х\, где 4 - некоторая точка в С1. (Такая
подпоследовательность существует, поскольку все х4 е С,, а Сг - компакт).
Из последовательности (nj выберем подпоследовательность (л2) такую, что
(4"г)> 4Лг,)^(4, 4) е ^2- Аналогичным образом пусть (4^),..., (*J> •••>
Обра-
зуем, наконец, диагональную последовательность (тк), где mk есть k-й член
в последовательности (nk). Тогда для любого 7 - - 1, 2, ... при со,
причем точка (4, 4'
еС" для любого /г - 1, 2, ..., что, очевидно, противоречит предположению
