Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ширяев А.Н. -> "Вероятность" -> 51

Вероятность - Ширяев А.Н.

Ширяев А.Н. Вероятность — МГУ, 1957. — 581 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnost1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 179 >> Следующая

совпадение очевидно. Докажем теперь, что они совпадают для п - 2.
Поскольку S3 (R2) ^ S3 X S3, то достаточно показать, что боре-левский
прямоугольник В1хВ2 принадлежит S3(R2).
Пусть R2 = R1X R-2, где и R2 - "первая" и "вторая" действительные прямые,
S31 - S31xR2, S32 = Rx х ^2> гДе S3xxR2 (RxxS32) есть совокупность
множеств вида BxxR2 (RxxB2), с BX^S3X (В2 Sa5(c)2)- Пусть также и s72 -
совокупности интервалов в Rx и R2 и S1 = S1xR2, S2=--R1xSi. Тогда в силу
(6)
BxxB^Bxf] B2^S3x[\B2^u(S1)[\Bi =
= а п В2) = а П <#2) = а х #2),
что и требовалось доказать.
Случай произвольного п >2 рассматривается аналогичным образом.
Замечание. Пусть <=(r)0 (/?") - наименьшая о-алгебра, порож-декная
открытыми множествами
Sp(x") = {.tsi?": рп(х, х°)<р}, x°<=Rn, р>0,
в метрике
п
р" (х, х°) = 2 2~*pi (-'"*> 4),
k =1
где х = (л:г, ..., *"), xc = (xl ..., хД.
Тогда S30(Rn) = S3 (Rn) (задача 7).
4. Измеримое пространство (/?", S3 (R°°)) играет значительную роль в
теории вероятностей, поскольку оно служит основой построения
вероятностных моделей экспериментов с бесконечным числом шагов.
160 ГЛ'. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Пространство Д°° -это пространство упорядоченных числовых
последовательностей
х-(хх, xt, ...), -оо<хк<оо, k=l, 2, ...
Обозначим через 1к и Вк соответственно интервалы (ак, ЬД и борелевские
множества й-й числовой прямой (с координатой хк). Рассмотрим
цилиндрические множества
3 (Ixx...Xln) = {x: х = (хх, х.2, ...), хх(=1х *"?=/"}, (8)
^(B1X...xB")=jic: х^{хх...), хх^Вх, ..., хп<=Вп\, (9) 3(В*) = {х\ (хх,
..., х")е=В"}, (10)
где Вл - борелевское множество из <03 {Rn). Каждый из "цилиндров"
3(Вхх...хВп) или #(Вп) может рассматриваться также как цилиндр с
оснсваниями в Rn+1, Rn+t, .... поскольку 3 (Bxx...xBn) = 3(Bxx...xBnxR),
3 (Вп) = 3 (В^1),
где Bn+1 = BnxR-
Отсюда следует, что как система цилиндров 3 (Вх х... X Вп), так и система
цилиндров 3 (Вп) образуют алгебры. Нетрудно проверить, что множества,
составленные из объединений непересекающихся цилиндров 3 (1Х х.. .X /"),
также образуют алгебру. Обозначим через q33(Rxj), -03х (/?") и S332 {R )
наименьшие ст-алгебры, содержащие все множества (8), (9) и (10)
соответственно. (Часто ст-алгебру 33х (R'x) обозначают S3 (R) (r) S3 (R)
(х) ....) Понятно, что S3 (R x) ? S3X (Я00) ? S32 (Д30). На самом же деле
все эти три ст-алгебры совпадают.
Для доказательства обозначим для каждого л=1, 2, ...
Г" = {А е= Дл: {*: (хх хп) ed)e ^ (Дда)}.
Пусть Bn^.S3{Rn). Тогда
Вп е ^ (/Г).
Но "^" - ст-алгебра, а значит,
Д?(ДД?ст(^") = ^"^:Д?(Дм)
и, следовательно,
d(c)2 (Д°°) ? S3 (R°°),
Итак, ^ (Дда) = ^ (Д") = S3, (Д°°).
В дальнейшем множества из S3{R°°) будем называть борелевскими множествами
(в Д°°).
Замечание. Пусть S30 (Дет) - наименьшая ст-алгебра, порожденная открытыми
множествами
5Р (х°) = {х е= R(tm): рт(х, *°)<р}, л/'еГ, р>0,
$ 2 алгебры и сиглгл-алгебры
1G1
в ме:рике
оо
Роо (*. Хп) = 2 2~kPl (**• х*)> k= I
где х = (хг, х2, ...), x° = (xi, х\, ...). Тогда S3 (К°) = -Т?0 (а1")
(задача 7).
Приведем несколько примеров борелевских множив в R(tm):
(a) jie Я30: supA'">a},
{х <= Я30: inf < а};
(b) Jxe^30: limxj<a},
{х е Я30: lim > а},
где, как обычно,
lim хп = inf sup хт, limx" = sup inf хт\
п т^гп п т^п
(c) (хеГ: Хп-+}-
множество тех а: е для которых lim;c" существует и конечен;
(d) (хеГ: lim хп > а};
( 30
(e) хеГ: ? 1*"1 >а
(f) jx <= /?°°: xk = G по крайней мере для одного n^lj.
Чтобы убедиться, например, в том, что множества из (а) входят в систему
SSiR^), достаточно заметить, что
{х: sup хп > а) = |J {х: xn>a}<=S3 (R°°),
П
{х: inf хп < а} = (J {х: < а} е (Я30).
П
5. Измеримое пространство (RT, S3(RT)), где Т - произвольное
множество. Пространство RT - это совокупность действительных функций x =
{xt), определенных для t^T*). В основном нао будет интересовать тот
случай, когда Т - некоторое несчетное
подмножество числовой прямой. Для простоты и определенности
можно сейчас предположить, что Т = [0, оо).
*) В дальнейшем для функции из RT используются также обозначения:
x=(*i)leRr> *=(*/). •
162 ГЛ II МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕН
Введем в рассмотрение три типа цилиндрических множеств
tn (h X...X ln) = {*: xti e lu ..., xti€3 /"}, (11)
^ tn(Blx...xBn) = \x: ..., (I")
^,..../"(5") HA': K' •••' <13)
где Ik - множества вида (ак, bk\, Bk - борелевские множества на числовой
прямой, а В" - борелевское множество в R".
Множество &7tv t (Д X.. .X /") есть не что иное, как множество Iех
функций, которые в моменты tx, ..., tn "проходят через окна" 1Ъ ..., /",
а в остальные моменты принимают произвольные значения (рис. 24).
Обозначим через S3(RT), &B1{RT) и S32(RT) наименьшие а-алгебры,
содержащие все цилиндрические множества (11), (12) и (13) соответственно.
Ясно, что
^(R^^^iR7)^^^7)- (14)
На самом же деле все эти три о-алгебры совпадают между собой. Более того,
исчерпывающим образом можно описать и структ\ ру их множеств.
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed