Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Ех - {х: х:<с, се R},
Ег~{х\ х^с, се R}
порождает а-алгебру 33 (R), о (Ех) = о (Е.г) = 33 (R) (см. § 2).
Приводимая ниже лемма дает возможность конструирования случайных величин
как функций от других случайных величин.
Лемма 2. Пусть ф = ф (х) - борелевская функция, а ? = ? (со) -~ случайная
величина. Тогда сложная функция ц = ф°?, т. е. функция г| (со) = ф (со)),
является также случайной величиной. Доказательство следует из того, что
для В е 33 (R)
{со: ц (со) е В) = {со: Ф (I (со)) ёВ} = {ok I (со) е ф"1 (В)} е= оТ, (7)
поскольку ф^1 (В) е 33 (R).
Таким образом, если ^ - случайная величина, то такие функции, как,
скажем, \п, ?+ = тах(|, 0), - min(E, 0), jg|
также являются случайными величинами, поскольку функции хп, л;+, л~, | л:
| являются борелевскими (задача 4).
3. Отправляясь от заданной системы случайных величин {|л},
-О
можно из них строить новые функции, например ^ l?*l> lim
С- = 1
Ит%" и т. д. Заметим, что эти функции принимают свои значения, вообще
говоря, уже в расширенной числовой прямой R = = [-со, оо]. Поэтому
целесообразно несколько расширить класс eF-измеримых функций, допуская,
чтобы они принимали также значения ±оо.
Определение 4. Функция ? = ?(со), определенная на (Q, aF) и принимающая
значения в /?=[-оо, оо], будет называться расширенной случайной
величиной, если для любого борелевского множества B^33(R) выполнено
условие (1),
5 4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ I
18Э
Следующая теорема, несмотря на ее простоту, является ключевой при
построении интеграла Лебега (§ 6).
Теорема 1. а) Для любой (в том числе и расширенной) случайной величины Е
= ?;(со) найдется последовательность простых случайных величин Ех, Е2,
... таких, что и Ел (со) -е>- Е (со),
п ->¦ оо, для всех wgQ.
b) Если к тому же Е(со);аО, то найдется последовательность простых
случайных величин Е2, ... таких, что Е" (о) j Е (со), л-^-оо, для всех
(оеО,
Доказательство. Начнем с доказательства второго утверждения. Положим для
п = 1, 2, ...
п'2п
? _ J
/, рп ^(*-1 . *1 ((r))(со).
{1Г<ЕМ<^}
Непосредственно проверяется, что построенная последовательность ?, (со;
такова, что Ел (со) f Е (со) Для всех "ей. Из этого утверждения вытекает
также справедливость первого утверждения, если только заметить, что Е
может быть представлена в виде Е = Е+- - Е~. Теорема доказана.
Покажем теперь, что класс расширенных случайных величин замкнут
относительно'поточечной сходимости. С этой целью заметим прежде всего,
что если Е1; Е2> ... - последовательность расширенных случайных величин,
то функции supt", inf Ел, ПтЕя и 1ипЕя также являются случайными
величинами (быть может, расширенными). Следует это непосредственно из
того, что
{со: sup 1п > х}= [J {со: Ел > х} е Jr,
П
{со: inf s"< х}= [J {со: ?" < д} <ее eF
П
и lim \п = inf sup Em, lim L = sup inf \m.
n m^n n m^n
Теорема 2. Пусть l1, E2, ... - последовательность расширенных случайных
величин и Е (со) = lim Е" (со). Тогда g (со) также является расширенной
случайной величиной.
Доказательство сразу следует из сделанного выше замечания и того, что
{со: ? (со) <х} = {со: lim \п (со) < х} =
= {со: lim 1п (со) = lim \п (со)} П {lim ?" (со) < х} -
- Q П {lim (со) < х} = {lim ?" (со) < х] е еГ.
190 ' ГЛ II МТТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
4. Остановимся еще на некоторых свойствах простейших функций от случайных
величин, рассматриваемых на измеримом пространстве (О, aF) и принимающих,
быть может, значения в расширенной числовой прямой R~[-оо, со] *¦).
Если | и г)-две случайные величины, то g + ri, g - т], ?т) и
Е/ц также являются случайными величинами ^в предположении, что они
определены, т. е. не возникает неопределенностей типа
со а\ со - со, -, - .
со 0 /
В самом деле, пусть {Е"} и {г]"} - последовательности случайных величин,
сходящиеся к Е, и г) (см. теорему 1;. Тсгда
In ± Г]п -> S ± Л,
ЕяТ1я->ЕП.
______ЬЯ___________5)
,1л + 4'/{чп = 0}(") П
Каждая из функций в левых частях этих соотношений являе:ся простой
случайной величиной. Поэтому в силу теоремы 2 предельные функции |±т], 1ц
и Е/т) также являются случайными величинами.
5. Пусть Е -случайная величина. Рассмотрим множества из aF вида {со:
E(co)s5}, Вей (/?). Наименьшую а-алгебру, порожденную такими множествами,
называют а-алгеброй, порожденной случайной величиной Е. Будем ее
обозначать aF|.
Если ф -некоторая борелсвская функция, то из леммы 2 следует, что функция
г) = ф - g также является случайной величиной, причем еК^-измеримой, т.
е. такой, что {со: т) (со5 s s z/3 {R) (см. (7)). Сказывается, что
справедлив и обратный результат.
Теорема 3. Пусть 14 - aF ^-измеримая случайная величина. Тогда найдется
такая борелевская функция <р, что г) = ср = g, пг. е. для каждого weQ ц
(со) = ф (g (со)).
Доказательство. П)сть Ф -класс ессх "iFj-измернмых функций г| = г|(со), а
Ф^ -класс ^-измеримых функций, предс.а-вимых в виде ф-?, где ф -некоторая
борелевская функция. Ясно, что ОД s ОД. Утверждение теоремы состоит в
том, что на самом деле Фе = Ф|.
