Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ширяев А.Н. -> "Вероятность" -> 52

Вероятность - Ширяев А.Н.

Ширяев А.Н. Вероятность — МГУ, 1957. — 581 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnost1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 179 >> Следующая

Теорема 3. Пусть Т - любое несчетное множество. Тогда
S3 {RT) = S31 (RT) = S32 (R7), и любое множество A e^S3(RT) имеет
следующую структуру, найдется не более чем счетное множество точек tv t2,
... из Т и борелевское множество В из S3'(R00) такое, что
А = {х: (xtl, хи, ,..)ей}. (15)
Доказательство. Обозначим через Ш совокупность множеств вида (15) (при
различных наборах (tL, t2, ...) и множествах В из S3{Rco)). Если Alt Аг,
...et и отвечающие им наборы
5 2 АЛГЕБРЫ И СИГМА-АЛГЕБРЫ
1G3
есть Т,1, = (^1,> ...), 7Ш = (/Г, /(f, ...), то множество Т<ОЭ| =
с= [J Т1-'1'1 можно взять в качестве единой системы такой, что
к
все /1; будут предстазлены в виде
At = {x: (xXl, хХг, ...) еВ,},
где В[ - некоторые множества из (одной и той же) а-алгебры ^(Па^Г1,
Отсюда следует, что система множеств Ш образует а-алгебру. Понятно, что
эта а-алгебра содержит все цилиндрические множества вида (1) и, поскольку
33 2 (RT) есть наименьшая а-алгебра, содержащая эти множества, то вместе
с (14) это дает
33(RT)^33l(RT)<=A32(RT)^E. (16)
Рассмотрим множество А из ё, представимое в виде (15). Если зафиксировать
набор (tlt t2, ...), то тогда те же рассуждения, что и в случае
пространства (R^°, 33 (/?")), показывают, что множество А будет элементом
а-алгебры, порожденной цилиндрическими множествами (11). Но эта а-
алгебра, очезиднэ, принадлежит с-алгебре 33 (RT), что вместе с (16) и
доказывает оба утверждения теоремы.
Итак, любое борелевское множество А из а-алгебры 33 (RT) определяется
ограничениями, наложенными на функции x = (xt), t^T, не более чем в
счетном числе точек tlt t2, ... Отсюда следует, в частности, что
множества
= {х: sup xt<.C для всех t е [0, 1]},
А2 = {х: xt = 0 по крайней мере для одного / е [0, 1]},
As = {x\ xt непрерывна в фиксированной точке t0 s [0, 1]},
зависящие от "поведения" функций в несчетном числе точек, не обязаны быть
берелевекпми. И действительно, все три указанных множества не принадлежат
S3 (/?№¦ 1]).
Покажем это для множества Лх. Если Лх е S3 (/?[0' 1]), то, согласно
доказанной теореме, можно найти такие точки (R, t\, ...) и mhl>kcctbo В0
<= 33 (R^), что
|а: sup xt < С, / е [О, 1 ]| = |л:: (х^у х^, ...jeff1},
Ясно, что функция г/^ = С-1 принадлежит Alt и, следовательно, \ytо, ...)
е В". Образуем тогда функцию
_ г с- 1, п,
Z<-\C+1, п, ...).
164 ГЛ II МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Понятно, ЧТО
{Уф Уф = гф • • •)>
п, следовательно, функция г = (ге) принадлежит множеству {х: (xt", .
Но в то же время ясно, что она не принад-
лежит множеству \х: supx/<;C}. Полученное противоречие показывает, что Ах
ф 32 1]).
В связи с неизмеримостью множеств Аи А2 и А3 по отношению к ст-алгебре 32
(Rt°- U) в пространстве всех функций х=(х,), <е[0, 1], естественно
рассмотреть более узкие классы функций, где эти множества могут оказаться
измеримыми. Интуитивно понятно, что так будет, если в качестве исходного
пространства рассмотреть, например, пространство непрерывных функций.
6. Измеримое пространство (С, 33(C)). Пусть Т = [0, 1] и С- пространство
непрерывных функций x = (xt), Относительно равномерной метрики р (лг,
у) =sup \xt - yt j это простраи-
/еТ
ство является метрическим. В С можно ввести две о-алгебры: 33 (С) - о-
алгебру, порожденную цилиндрическими множествами, и о-алгебру 320(С),
порожденную открытыми (в метрике р(х, у)) множествами. Покажем, что на
самом деле обе эти о-алгебры совпадают: 33 (С) - 330(С).
Пусть В = {х: xto <2 b] - некоторое цилиндрическое множество. Нетрудно
убедиться, что это множество является открытым. Отсюда вытекает, что {х:
< й(, ..., xtn<.bn\ е 330(С) и, значит,
33 (С) 3о (С).
Обратно, рассмотрим множество Вр - \у: у ^ Sp(x0)}, где х°-
некоторая функция из С и Sp(jf°) = ji:eC: sup | xt - x'j \ < р} -
/ет
открытая сфера с центром в х°. В силу непрерывности функций из С
Bp = {ytsC: y^Sp(x°)} = {yeEC: max | yt - х? \ <р} =
= П {У^с- \ytk~x?k\<p}<=32(C), (17)
'k
где 1к - рациональные точки отрезка [0, 1]. Поэтому 330 (С)^ 3(C).
Следующим важным примером является
7. Измеримое пространство (D, 33(D)), где D - пространство функций x =
(xt), t е [0, 1], являющихся непрерывными справа (X( = xt+ для всех t<2l)
и имеющих пределы слева (в любой точке t > 0).
Так же, как и в случае пространства С, в D можно ввести метрику d(x, у)
так, что о-алгебра 330(D), порожденная открытыми множествами, будет
совпадать с о-алгеброй 33(D), порожденной цилиндрическими множествами.
Эта метрика d (х, у), введенная
§ 2 AnrFBPbl И СИГМ V АЛГЕБРЫ 1 КЗ
Д. В. Скороходом, определяется следующим образом: d(x, у) - inf (е > 0:
31еА: sup ! xt - ух(п | +
+ supii-X(0!^e}, (18)
t
где Л -множество строго возрастающих непрерывных на [0, 1J функций k =
k(t) с /. (0) = 0, д(1) = 1.
8. Измеримое пространство 1Д йл 1 з'аТ'/). Наряду с прост-
' t<^T шт I
ранством (RT, q7j(Rt)), являющимся прямым произведением Т копий числовой
прямой с системой борелевских мкожтств, в теории вероятностей
рассматривают также измеримые пространства / |Д \(r)\Srt\, образованные
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed