Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
важные для теории вероятностей и математической статистики примеры разных
типов плотностей / = /(.т) с указанием их наименований н параметров
(плотность f (х) считается равной нулю для неуказанных в таблице значений
х).
Сингулярные меры. Так называют меры, функции распределения которых
непрерывны, но точки их роста образуют множество нулевой меры Лебега. Не
останавливаясь подробно на этом случае, ограничимся лишь примером такой
функции.
Возьмем отрезок [О, 1] и построим функцию F (х) с помощью следующего
приема, принадлежащего Г. Кантору.
Разделим отрезок [О, 1] на три равные части и положим (рис. 26)
г 1/2 (1/3, 2/3),
(х) = j 0 х = О,
[ 1 х = 1,
доопределяя ее в остальных точках с помощью линейной интерполяции.
Рис. 26 Рис. 27.
Далее, каждый из интервалов [0, 1/3] и [2/3, 1] снова делим на три части
и определяем функцию (рис. 27)
1/2 1/4
F2 (х) = 3/4
х < х < х < х ¦-
X - 1
= (1/3, 2/3), = (1/9, 2/9), = (7/9, 8/9), = 0,
172
ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Таблица 2
Тип распределения Плотность Параметры
Равномерное на [а, Ь] т-~ , а !ГС х Ь о - а a, i е Р; а < Ь
Нормальное, или гауссов- (г - т)г т <= R, а > 0
ское - - - С t X С= к 1¦ 2л а
Гамма уа -1 -jr/P % t- , /1 -r-r^fpr, XF'Q 1 (а) pH а > 0, [5 > 0
Бета Р(Г. S) ' - г > 0, s > 0
Экспоненциальное (гамма-распределение с а=1, [5=1 А) Хе~ * х, х >: 0
Я>0
Двустороннее экспоненциальное распределение Я>0
Хи-квадрат, х2 (гамма распределение с а -п/2, р = = 2) 1 ? 2 ? 2 2п/2Г
(п/2) "= 1, 2, ...
Стыодента, t /плг(")^+,2г-+г х (= R т (т Y ъ -> и= 1, 2, ...
F \п) X2 п / т п\ т + п Р\Т' 2 ![\+nf^ 2 *2=0 /и, "= 1, 2, ...
Коши (r) у f- Г) я(л:2 + Э2)' е>о.
$3 3\ДЛНПЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
173
со значениями в остальных точках, полученными линейной интерполяцией.
Продолжая этот процесс, построим последовательность функций F,,(x), п =
1, 2, ..., которые сходятся к некоторой неубывающей непрерывной функции F
(х) (называемой канторовской), точки роста которой (.г -точка роста F
(х), если F (х-|-е) - --F (х - е) > 0 для любсто е >• 0) образуют
множество лебегов-ской меры нуль. Действительно, из конструкции F (х)
видно, что общая длина интервалов (1/3, 2/3), (1/9, 2/9), (7/9, 8/9),
..., на которых функция принимает постоянные значения, равна
СО
1 2,4, 1 X/ / 2 \п .
Т+9 Т27+----Т 2 (з) -1' ^
п - 0
Обозначим через множество точек роста канторовской
функции F (х). Из (6) следует, что Я(5Щ) = 0. В то же самсе время, если ц
-мера, соответствующая канторовской функции F (х), то рДЩ") = 1. (В этом
случае говорят, что мера сингулярна по отношению к лебеговской мере Я.)
Не останавливаясь более на вопросе о возможных типах функций
распределения, ограничимся лишь замечанием о том, что на самом деле
указанными тремя типами исчерпываются все функции. Точнее, произвольная
функция распределения может быть представлена в виде pxFx-\-p^F.^ p3F.it
где F1-¦ дискретная, /ф - абсолютно непрерывная, /ф - сингулярная функции
распределения, pt - неотрицательные числа, рх-\-рг-\-р3= \.
2. Теорема 1 устанавливает взаимно однозначное соответствие между
вероятностными мерами на (R, S3 (R)) и функциями распределения на R.
Анализ доказательства этой теоремы показывает, что на самом деле
справедлив более общий результат, позволяющий, в частности, ввести так
называемую меру Лебега на всей числовой прямой.
Пусть ц - некоторая ст-конечная мера на (?2, еУ), где &S - алгебра
подмножеств ?2. Оказывается, что утверждение теоремы Каратеодори о
продолжении меры ц с алгебры aS на наименьшую сг-алгебру сг(еУ) остается
справедливым и для а-конечных мер, что и дает возможность обобщения
теоремы 1.
Назовем мерой Лебега - Стилтьеса на (R, S3 (R)) всякую (счетно-
аддитивную) меру |л такую, что для любого ограниченного интервала / его
мера ц (/) < со. Обобщенной функцией распределения на числовой прямой R
назовем всякую неубывающую непрерывную справа функцию G = G (х) со
значениями в (- со, со).
Теорема 1 допускает обобщение в том смысле, что формула
p. (a, b] = G (b) - G (а), a<ib,
174 ГЛ II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
снова устанавливает взаимно однозначное соответствие между мерами Лебега
- Стилтьеса р и обобщенными функциями распределения G.
В самом деле, если G(-)-oo) - G(-со) <00, то доказательство, примененное
в теореме 1, проходит без всяких изменений, поскольку этот случай
сводится к случаю, когда G(-f-co) - --G(-00) =1 и G(-со) = 0.
Пусть теперь G(+co) - G(-сю) = со. Положим
г G (х), | а | sS п,
Gn(x) = } G(n), х = п,
I G(-n), х = - п.
Определим на алгебре aS конечно-аддитивную меру р0 так, что уц (a, b] - G
(b) - G (а), и преть ря - \же построенные (по тео-5 еме 1) счетно-
аддитивные моры, ссотЕетствующие функциям Gn{x).
Очевидно, что на &S р" { р0. Пусть теперь Лх, Л2, .-нопе-ресекающпеся
множества из о/g и A = ?An^es?. Тогда (задача 6 из § 1)
СО
Но(Л)=з М^я)-
П - 1
СО со
И если 2] НоМя) = "э. то р0(Л) = 2] р0(Л"). Предположим
п ~ 1 п - i
