Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
теперь, что Ц|т0 (Лл) < оо. Тогда
СО
Но (А) = lim ц" (Л) = Jim 2) \in(Ak). п п *= 1
Согласно сделанному предположению 2 Но < со- Поэтому
; о,
0<Но(П)- 2 Ио(Иа)= lim *=> 1 п
2! (ия (п*)-Но (л*))
4= 1
поскольку p"s?:p0.
Итак, ст-конечная конечно-аддитивная мера р,, является счетноаддитивной
на ел/, и, значит, (по теореме Каратеодори) она может быть продолжена до
счетно-аддитивной меры р на а(эт€).
Особо важен тот случай, когда G(x) = x. Отвечающая этой обобщенной
функции распределения мера X называется мерой Лебега на (R, S3(R)). Как и
в случае отрезка [0, 1] на числовой прямой R, вводится система
лебеговских множеств S3 (R) (А е S3 (R), если существуют борелевские
множества А и В такие, что А^А^В, Х(В\А) - 0), для которых определяется
также лебеговская мера X (Я(А) = ЦЛ), если ЛсДдВ, Ле <=S3(R) uX(B\A) -
0).
§ 3. ЗАДАНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 175
3. Измеримое пространство (Rn, S3{Rn)). Как и в случае действительной
прямой, предположим, что Р -некоторая вероятностная мера на (Rn,
<?/d(Rn)).
Обозначим
Fn(xlt ..., хп) = Р((- оо, ^]х".Х(- оо, хп]),
или, в более компактной форме,
Fa (х) = Р (- ОО, дг],
где х = (х1г ..., хп), (-со, х] - (- со, л^х.-.Х^- со, х"].
Введем разностный оператор Аа.,ь.' Rn->-R, действующий по формуле [at bt)
^bi ^'п • • • > Хп) - Fп (Л^, ... , b[j Xi+i • • •)
F п (a"i i * * <, хi. j, au '' i ц ...}
Простой подсчет показывает, что
^aib\ '' ' ^afibnFn '" ' ^a^ = ^
где (a, b] = {a1, X... X (fl", Ьп]. Отсюда, в частности, видно,
что, в отличие от одномерного случая, вероятность Р (а, &], вообще
говоря, не равна разности Fn(b) - Fn(a).
Поскольку Р (а, Ь] ¦ 0, то из (7) следует, что для любых
а = (а1...ап), Ь = (Ьг... Ь"),
Afljbj • • • ^onbaFп (лу, ..., хп) 5з 0. (8)
Из непрерывности вероятности Р вытекает также, что функ-
ция Fn(xlt хп) непрерывна справа по совокупности переменных, т. е. если
х(к)\х, х{к) = (х[к), ..., то
Fa(x(k))\Fa(x), k -*¦ оо. (9)
Ясно также, что
Fai^r00! •••" +со) = 1 (10)
и
liraFn(xv ..., х") = 0, (11)
* t у
если по крайней мере одна из координат у у принимает значение - оо.
Определение 2. Всякую функцию F = Fn (jq ... х"), удовлетворяющую
условиям (8) -(11), будем называть п-мер ной функцией распределения (в
пространстве Rn).
Используя те же самые рассуждения, что и в теореме 1, можно доказать
справедливость следующего результата.
176 ГЛ II МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Теорема 2. Пусть F = F"(x1, хп) - некоторая функция распределения в Rn.
Тогда на (Rn, (Rn)) существует и притом единственная вероятностная мера Р
такая, что
Р (а, Ь] = Аа1*1 • • • Ь-°пьТп (А" х"). (12)
Приведем некоторые примеры "-мерных функций распределения. Пусть F1 F" -
одномерные функции распределения (на R) и
/^(•Н xn) = F1(x1) ...Fn{xn).
Ясно, что эта функция непрерывна справа и удовлетворяет условиям (10),
(11). Нетрудно проверить также, что
\ьх ¦ • • Кпь/П (И.........х") = П \рк ~ рк (а*)] : " °-
Следовательно, Fn(x1, ..., х") - некоторая функция распределения. Особо
важен случай, когда
ГО, хк < 0,
Fk (Хк) = А/г, 0 =SC Aft ^ 1,
11, Aft > 1.
В этом случае для всех 0 sg хк s? 1, k - 1, ..., n,
Fn (xx, ..., xn) = xx... xn.
Соответствующую этой "-мерной функции распределения вероятностную меру
называют n-мерной мерой Лебега на [0, 1J'1.
Большой запас "-мерных функций распределения получается в виде
*1 *п
Fп (хх, •. ., хп) - ^ ... ^ fn (tx, ..., tn) dt} ... atn,
- CO - CO
где fn{tx, ..., tn) - неотрицательные функции с
СО СО
5 ... 5 fn(llt ..., tn)dtx... dtn= 1,
- со -со
а интегралы понимаются в смысле Римана (и в более общем случае -в смысле
Лебега). Функции f = fn{tx, ..., tn) называют плотностями "-мерной
функции распределения, "-мерной плотностью распределения вероятностей,
или просто "-мерными плотностями.
В случае п = 1 функция
§ 3 ЗАДАНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
177
с ст>0 есть плотность (невырожденного) гаусссвского, или нормального
распределения. Существуют естественные аналоги этой плотности и в случае
1.
Пусть R = !|rtjj - некоторая неотрицательно определенная симметрическая
матрица порядка пх п:
В том случае, когда R - положительно определенная матрица, ее ' R | =
ciet R > 0, и, следовательно, определена обратная матрица Л =
Тогда функция
где rtii^R, i=l, ..., п, обладает тем свойством, что интеграл (Римана) от
нее по всему пространству равен 1 (это будет доказано в § 13) и,
следовательно в силу ее положительности она является плотностью.
Эта функция называется плотностью п-мерного (невырожденного)
гауссовского, или нормального распределения (с вектором средних значений
т = (mlt ..., тП) и матрицей ковариаций К=Л~1).
В случае п - 2 плотность /2 (хи х2) может быть приведена к виду
М*1. хг) =
метров mh ст,- и р будет объяснен
в § 8.) Приводимый рис. 28 дает представление о виде двумерной
гауссовской плотности.
Замечание. Как и в случае п - 1, теорема 2 допускает обобщение на
(аналогичным образом определяемые) меры Лебега - Стилтьеса в (Rn, S3
