Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
следующим образом.
TGT t J
Пусть Т - произвольный набор индексов и (Q,, 3Ft) - измеримые
пространства, t s Т. Обозначим Й = Qt - множес^о всех функ-
tc=T
ций со = (со,), таких что со^ е Q? для каждого t^T.
Совокупность цилиндрических множеств
tn(B1x...xBn) = {br. о^gBi со,яеВ"},
где Bt е//(, образует, как нетрудно показать, алгебру. Наименьшую ст-
алгебру, содержащую все цилиндрические множества,
обозначают I з 3F t, а измеримое пространство j j Н , i "ja7^ назы-/ет
' 1
вают прямым произведением измеримых пространств (Q,, of,), tf~T.
9. Задачи.
1. Пусть ¦S31 и S32 - ст-алгебры подмножеств пространства й. Будут ли ст-
алгебрами системы множеств
SA3\ П S32 {Л.' Л ЕЕ S3± И Л ЕЕ Дб},
S31 (J S3^ = {А: /1е S31 или Л ее е/32}}
2. Пусть SS = {DX, В.г, - некоторое счетное разбиение Q и S3 = ст(23).
Будет ли число множеств, составляющих S3, также счетно?
3. Показать, что
S3 (Rn) (r) S3 (R) = S3 (Дг+1).
4. Доказать, что множества (b) - (f) (см. п. 4) принадлежат "&(/?")•
5. Доказать, что множества Л2 и Аа (см. п. 5) не принадлежат S3(Rl0' U).
U>S ГЛ II МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
6. Доказать, что функция (15) действительно задает метрику.
7. Доказать, что S30 (Rn) = S3 (Rn), n?s\, и a%0(Rco) = <?*3 (R^).
8. П^сть С - С [0, оо) - пространство непрерывных функций x = (xt),
определенных для /озО. Показать, что относительно метрики
СО
Р (х> У) = У\ 2~" min Г sup \xt - tjt\, 11, х, у<=С
" = 1 LosSisS^ J
это пространство является полным сепарабельным метрическим пространством
и о-алгебра S30(C), порожденная открытыми множествами, совпадает с о-
алгеброй S3 (С), порожденной цилиндрическими множествами.
§ 3. Способы задания вероятностных мер
на измеримых пространствах
1. Измеримое пространство (R, S3(R)). Пусть Р = Р(Л) - вероятностная
мера, определенная на борелевских множествах А числовой прямой. Возьмем Л
= (-со, х], и положим
/7(х) = Р(-со, ф леК. (1)
Так определенная функция обладает следующими свойствами:
1) F (х) - неубывающая функция',
2) F (-со) = О, F (+со) = 1, где
F(-со) = lim F (х), F (+со) = lim F (х);
X I -СО X ] со
3) F (х) непрерывна справа и имеет пределы слева в каждой точке те/?.
Первое свойство очевидно, последние два вытекают из свойства
непрерывности вероятностной меры.
Определение 1. Всякая функция F - F(x), удовлетворяющая перечисленным
условиям 1) - 3), называется функцией распределения (на числовой прямой
R).
Итак, каждой вероятностной мере Р на (R, S3 (R)) соответствует (в силу
(11)) некоторая функция распределения. Оказывается, что имеет место и
обратное утверждение.
Теорема 1. Пусть F = F (х) - некоторая функция распределения на числовой
прямой R. Тогда на (R, S3 (R)) существует и притом единственная
вероятностная мера Р такая, что для любых -со ^ а < Ъ < со
Р(а, b] = F (b)-F(a). (2)
Доказательство. Пусть (c)^ - алгебра множеств А из R, являющихся конечными
суммами непересекающихся интервалов
§ 3 ЗАДАНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
167
вида (а, Ь]:
П
*=i
Определим на этих множествах функцию множеств Р0, полагая
П
Ро ("4) - 2 - F 4gs/. (3)
*=i
На алгебре еа/ эта формула определяет и, очевидно, однозначно некоторою
конечно-аддитивную функцию множеств. Поэтому, если показать, что на этой
алгебре эта функция к тому же счетноаддитивна, то существование и
единственность требуемой меры Р на rf/S (R) будет непосредственно
вытекать из следующего общего результата теории меры (приводимого без
доказательства).
Теорема Каратеодори. Пусть О,-некоторое пространство, es? - алгебра его
подмножеств и S3 = а (&?/) - наименьшая а-алгебра, содержащая . Пусть \in
-о-конечная мера на (й, &?). Тогда существует и притом единственная мера
ц на (й, S3 МО). являющаяся продолжением р0, т. е. такая, что
р (Л) = р0 (Л), Лее/,
Итак, покажем, что функция Р0 счетно-аддитивна на алгебре а/г. Согласно
теореме из § 1 для этого достаточно проверить непрерывность Р0 в ф, т. е.
проверить, что
Р0(Лл)|0, Ап\ф, ЛлеЕаДС
Пусть Л,, А.г, ... - некоторая выбранная последовательность множеств из
aS со свойством Лл | 0. Предположим сначала, что все множества Лл
принадлежат некоторому замкнутому интервалу [-N, A7j, N <д со. Поскольку
Лл состоят из конечного числа сумм интервалов вида (а, b] и поскольку в
силу -непрерывности справа функций F (х)
Ро (a', b] = F(b) - F (a') -+F(b) - F (а) = Р0 (а, Ь]
при а' | а, то для каждого Лл найдется множество Вп ед a-f такое, что его
замыкание [Бл] s Лл и
Р0 (Лл) - Р0 (5Л)<е • 2~\
где е -некоторое заранее заданное число, большее нуля.
По предположению [\Ап=ф, а значит, и П[5Л] = 0. Но множества [Вп]
замкнуты, поэтому найдется такое конечное 4(1 = пи {?}, что
(\[Вп]=ф. (4)
П = 1
168 ГЛ II МАГМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
(В самом деле, [-N, /V] - компакт, а система множеств \[-N, N]\[Bn}} n>i
образует открытое покрытие этого компакта. Тогда по лемме Гейне -Бореля
существует конечное подпокрытие:
(J (l-N, N]\[Bn]) = [-N, N]
П = 1
а значит, р| [Вп) = ф).
П~ 1
