Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Учитывая (4) и го, что Л,1(д Л",_| д.,.Е Лц находим
Ро (А= Р j Ап.\ fj Bk) + Р0( П Bk\ =
\ *-=1 / U=i /
= Рf| 5*J<P0^U (Л\Ял)|=^
"о "О
с-2-*<е.
4 = 1 4 - 1
Поэтому Рс(Л")|0, п-^со.
Откажемся теперь от предположения, что все А" д= [-N, /V] для некоторого
N. Зададим е>0 и выберем такое N, чю рс L-м, л']> 1 - е/2. Тогда,
поскольку
An = Aa[\\-N, yV] + AnflHV71v],
то
Ро Ш = Ро (An [-N, N] + Ро (Ап П [-М, NJ)< =ё/Ро(^пП[-N, NJ) + е/2
и, применяя предшествующие рассуждения (с заменой Ап га Ап П[-N, /V]),
получаем, что для достаточно больших п Р0 (Лл П fl [-N, /V])=</e/2. Тем
самым снова Р0(21")|0, п-> оо. Теорема доказана.
Итак, между вероятностными мерами Р на (В, М (В)) и функциями
распределения F на числовой прямой В существует взаимно однозначное
соответствие. Меру Р, построенную по функции F, принято называть
вероятностной мерой Лебега - Стнлтьеса, отвечающей функции распределения
F.
Особо важен случай, когда
Г 0, л:< О,
F (х) = | X, 0 sg х =s? 1,
[ 1, л:> 1.
В этом случае соответствующую вероятностную меру (обозначим ее Я)
называют мерой Лебега на отрезке [0, 1]. Ясно, что Я (a, frj-
§ 3 ЗАДАНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
1G9
= ?> -а. Иначе говоря, мера Лебега интервала (а, b] (а таг же любого из
интервалов (a, b), [fi, b], [а, Ь)) равна просто ею длине Ь - а.
Обозначим
"?([0, 1]) = МП[0, 1]: A^S3(R)\
совокупность борелевских множеств отрезка [0, 1]. Наряду с этими
множествами часто приходная рассматривать так называемые лсбеговские
множества отрезка [0, 1]. Будет говори'Ь, что ми -жество As[0, 1]
относится к системе Л/(70, 1]), если меж .о найти такие борелевскне
множества А и В, что А ^ Л д=, В и Я,(Б\Л) = 0. Нетрудно проверить, что
система ю ([0, 1]) является а-алгеброй. Именно ее и называют сист \чой
лгбеговских множеств отрезка [0, 1]. Ясно, что ([0, 1])?,ю<([0, 1J).
Меру Я, определенною пекз лишь нз множсслвзх из с?/3 ([о, Ж естественным
образом можно продолжить и на систему лебеговеккх множеств ьУЗ([0, 1]). А
именно, если Ае<й?([0, 1]) и А^А<=В, где А, Йе3"([ 0, 1]), Х(В\А) = 0, то
положим X (А) = X (А). Так определенная функция множеств Х - Х(А),
Ле<7Д[0, 1]) является, как нетрудно проверить, вероятностной мерой на
([0, 1], оА([0, 1])). Ее также называют лебегоеской мерой (на системе
лебеговских множеств).
Замечание. Проведенная процедура пополнения (продолжения) меры
применяется и оказывается полезной не только в рассмотренном случае.
Например, пусть (Q, sF, Р) - некоторое вероятностное пространство.
Обозначим через oFp совокупность всех подмножеств А пространства Q, для
которых можно найти также множества В, и Вг из aF, что Вх s A s В2 и Р
(В2\Вг) = 0. Естественным образом (с помощью равенства Р (А) = Р (ВJ)
вероятностная мера определяется и для множеств Ае/Р, Полученное таким
образом новое вероятностное пространство (Q, eFp, Р) называется
пополнением пространства (Q, aF, Р) относительно меры Р.
Если вероятностная мера Р такова, что eFp=eF, то она называется полной, а
соответствующее пространство (Q, aF, Р)-¦ полным вероятностным
пространством.
Устанавливаемое равенством Р (а, Ь] = F (b) - F (а) соответствие между
вероятностными мерами Р и функциями распределения F дает возможность
конструирования разных вероятностных мер с помощью задания
соответствующих функций распределения.
Дискретные меры. Пусть функция распределения F = F (х) является (рис. 25)
кусочно-постоянной, меняющей свои значения в точках хг, хг..., (ДР(х,)>0,
где A F (х) - F (х) - F (х - )). Соответствующая этой функции
вероятностная мера Р сосредоточена
170 гл II MATF.M ЭТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
в точках хг, х2, .
Р ({**}) = &F (х/г) > 0, ?Р ({**}) = 1.
к
Набор чисел (р,, р2, ...), где р* = Р ({аг*}), называют дискретным
распределением вероятностей.
F(x), _^j &Ffx3)
I aF(x,)
_ j aFIx,) 1 i
ш 'Н.' I--------------------------L-
х, х2 х3
Рис. 25.
Приведем таблицу наиболее употребительных типов дискретных вероятностных
распределений с соответствующими наименованиями (табл. 1).
Таблица 1
Гаспределенис Вероятности Параметры
Дискретное равномерное Бернуллиевское Биномиальное Пуассоповское
Геометрическое Отрицательно- биномиальное XN'k-1'2 iV Pi = P. Ра = Я
C*Dkqn-k, /г-0, 1 n e~} У qk~lp, k~\, 2, ... r>r~ 1 Л -r Ck-F' 0 , k
= r, T+l, ... JV = 1, 2, ... OsSp^l, 9 = 1 _p 0 p 1, 9 = 1- p n= 1, 2,
... ?.>0 0 < p sS 1, 9 = 1 - P 0 < p 1, 9 = 1-p r= 1, 2, ...
Абсолютно-непрерывные меры. Пусть существует неотрицательная функция 'f -
f(t), t е R, такая, что
F (х) = \ (5)
-СО
где под интегралом сейчас понимается интеграл в смысле Римана, а в общем
случае-в смысле Лебега (см. § 6).
Функция / = /(*), xc=R, называется плотностью функции распределения F =
F(x) (плотностью распределения вероятностей или просто плотностью).
§ 3 ЗАДАНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
171
Понятно, что всякая неотрицательная функция / = /(*), инте-
00
грируемая по Риману и такая, что ^ f(x)dx= 1, определяет
-СО
формулой (5) некоторою функцию распределения. В табл. 2 приведены особо
