Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ширяев А.Н. -> "Вероятность" -> 59

Вероятность - Ширяев А.Н.

Ширяев А.Н. Вероятность — МГУ, 1957. — 581 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnost1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 179 >> Следующая

§3 34ДТНПЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
183
для всех неупорядоченных наборов т = [/1; ..., /"] различных индексов tt
Т и B^S3(RX).
Доказательство. Пусть множество B^S3(RT). Согласно теореме из § 2
найдется такое счетное множество S = {s1, s2, ...} s еТ, что B<=S3(Rs),
где Rs = RSl XRs, X...
На множествах B<=S3(RT) определим функцию (множеств) Р, полагая
Р (B) = PS(B), (22)
где -та вероятностная мера, существование которой гарантируется теоремой
3. Мы утверждаем, что Р - именно та мера, существование которой
утверждается в теореме. С этой целью надо, во-первых, проверить, что
определение (22) корректно, т. е. приводит к одному и тому же значению Р
(В) при разных способах представления множества В, и, во-вторых, что эта
функция множеств счетно-аддитизна.
Итак, пусть B^S3{RSi) и В <= S3 (Rs*)- Ясно, что тогда Be е S3 (BSlUSz)>
и поэтому достаточно показать, что если S ^ S', В е S3 (Rs), то Ps (В) =
Ps- (В). Но S3 (Rs) s S3 (Rs') и на множествах В вида
B = {xeBs: (*Si, ..., XsJ^A}, A<=S3(Rk),
меры Ps(B) и Ps' (В) совпадают в силу условия согласованности. Поэтому в
силу теоремы 3 они совпадают и для всех множеств B^S3{RS), что и
доказывает корректность определения Р (В).
Пусть теперь {В"} - некоторая последовательность попарно непересекающихся
множеств из S3(RT). Тогда найдется такое счетное множество S^T, что для
любого п Bn^S3(Rs). Тогда поскольку Ps - вероятностные меры, то
Р (2 В") = Ps (? Вп) = ?PS (В") = VP (Вя).
Теорема доказана.
Замечание 1. Подчеркнем, что Т - любое множество индексов. При этом в
силу замечания к теореме 3 настоящая теорема сстается в силе, если вместо
числовых прямых Rt рассматривать любые полные сепарабельные метрические
пространства Q, (с а-алгебрами, порожденными открытыми множествами).
Замечание 2. Исходное семейство вероятностных мер {Рт} предполагалось
заданным для всех неупорядоченных наборов т = = IA, •••> tn\ различных
индексов. Иногда в качестве исходного берут семейство вероятностных
мер{Рт}, где т пробегает множество всех упорядоченных наборов т =
(t1.........t") различных ин-
дексов. В этом случае для справедливости теоремы 4 к условию
184 гл II МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
(20) надо тогда добавить еще одно условие согласованности:
P('i ,n){AUx---xA'n)==P('i, V [Ath Х ''Х А,Ы) ' (23)
где (г\, .гя) - произвольная перестановка чисел (1, п),
A/t е? //?(Ру), очевиднс.сть которого как необходимого условия
схщсствсвания вероятиосгпой меры Р следует из (21) (с заменой
V ¦ ¦ VJ (В> Н3 РЛ М W
В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что рассматриваемые наборы т
являются неупорядоченными. Если Г -множество на числовой прямой (пли
некоторое вполне упорядоченнее множество), то без ограничения общности
можно считать, что рассматриваемые наборы т - [tlt ..., tn] таковы, что
tx<.t2<.... . Таким образом, все "конечномерные", вероятности доста-
точно задавать лишь для таких наборов т = [/г, ..., /"], ) которых
Рассмотрим сейчас тот случай, когда Т = [0, сс). В этом случае RT есть
пространство всех действительных функций х = = (х,и^о- Важным примером
вероятностной меры на (?4('tCC>, <?8 (R^' "=>)) является так называемая
винеровская мера, строящаяся следующим сбразом.
Рассмотрим семейство {ср, (у j *)}/>о гауссовских плотностей (по у при
фиксированном х)
= -te~u'-KYnt, у^Р,
и определим для каждого набора т = [/1, ..., /л], tx <б t2
<•••¦< tn
и множества S = /1x...X/", /* = (я*, 6*), меру РХ(В) по формуле
Px(I1X...Xln) =
= Jj ... ^ Фо (Й1! 0) Фо-о (я* ai) ¦ ¦ ¦ Фтл-тл_1 (й" ! ал-1) dai. ¦ ¦
dan (24) ь гя
(интегрирование понимается в смысле Римана). Затем для каждого
цилиндрического множества <&t...t (h X... X /") = {х <= Р т:
..., xtn^I"} определим функцию множеств Р, полагая
р ... tn (Л X.. ,х /")) = PVi... ,л] (1Х X... X /я).
Наглядный смысл такого способа приписывания меры цилиндрическому
множеству a... t (IiX...X!n) состоит в следующем.
Множество е?tx... t {I\ X.. .XIп) - эго множество всех функций,
проходящих в моменты tu ..., tn через "окна" /х, ..., 1п (см. рис. 24 §
2). Будем инте претировать 1 (я* [ ак-г) как
вероятность того, что частица, выходящая из точки йл_х за время
$ 3 ЗАДАНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
185
tk - tk-x попадет в окрестность точки ак. Тогда то, что в (24)
рассматривается произведение плотностей, означает определенною
независимость приращений смещений движущейся "частицы" на интервалах
времени [0, f,], [/,, t2] [tn-i> tn].
Так построенное семейство мер {Рх} является, как нетрудно проверить,
согласованным и, следовательно, может быть продолжено до меры на (Z?10, \
dlu (R1'9'сс>)). Полученная таким образом мера играет важную роль в
теории вероятностей. Эта мера была введена Н. Винером и называется
винеровской мерой.
6. Задачи.
1. Пусть F(x) = Р(-со, х]. Показать справедливость следующих формул:
Р (a, b] = F (b) - F (а), Р (a, b) - F (b -) - F (а),
Р[а, b] = F (b)- F (а -), Р[а, b) - F ф-) - F (а - ),
P{x\ = F(x)-F(x -),
где F (х-) = lim F (г/).
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed