Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
о том, что Сл|ф, /г-*- со. Теорема доказана.
Замечание. В рассмотренном сейчас случае пространство 7?" есть счетное
произведение прямых, R^ - RxRx... Естественно поставить вопрос о том, а
верна ли теорема 3 для случая, когда вместо (7?00, S3 (7?°°)) берется
прямое произведение измеримых пространств (Q,-, aF,-), 7=1, 2, ...
В приведенном выше доказательстве можно усмотреть, что единственное
свойство числовой прямой топологического характера, которое было
существенно использовано, состояло в том, что в любом множестве из S3
(Rn) можно найти компакт, вероятностная мера которого сколь угодно близка
к вероятностной мере этого множества. Известно, однако, что это свойство
присуще не только пространствам (Rn, S3(Rn)), но и любым полным
сепарабельным метрическим пространствам с а-алгебрами, порожденными
открытыми множествами.
§ 3 ЗАДАНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
181
Таким образом, теорема 3 остается справедливой, если считать, что Рг,
Р.2, ... - последовательность согласованных вероятностных мер на (Q,, J
х), (QjXH,,, ^(х) J%), ..., где (Q,, vT,) - полные сепарабельные
метрические пространства с а-алгебрами aft, порожденными открытыми
множествами, а вместо (R°, с ;J(R(tm))) рассмотреть пространство (S^x^X...,
0 а/2 (х)...).
В § 9 (теорема 2) будет показано, что результат теоремы 3 также остается
справедливым и в случае произвольных измеримых пространств (Q/, оТ,),
если меры Рп сконструированы некоторым специальным образом. В общем же
случае (без каких-либо предположений топологического характера о
структуре рассматриваемых измеримых пространств или о структуре семейства
мер {Р"}) теорема 3 может быть и кеьерна, что показывает следующий
пример.
Рассмотрим пространство 9 = (0, 1], которое, очевидно, не является
полным, и построим в нем последовательность а-алгебр /jg/jg ... по
следующей схеме. Пусть для всех п= 1, 2, ...
( 1, 0 < со < 1 /п, ф" (">"\ О, 1,
??" = {ЛеП: А = {со: ф"(со)еВ}, B^S3{R))
и а|г,; = а{^'1, ..., Чэп) - наименьшая a-алгебра, содержащая системы
множеств С6Х, ••¦> с&п- Ясно, что &х s aF2 s ... Пусть je = a ((J 2Fn) -
наименьшая a-алгебра, содержащая все nJп. Рассмотрим измеримое
пространство (Q, #п) и определим на нем вероятностную меру Рп следующим
образом:
(1, если (1, ..., 1 )еВ",
Рп{со: (ф^со), .... фл(со))еВл ={
(Об противном случае,
где Bn^S3{Rn). Нетрудно убедиться в том, что семейство мер \Рп} является
согласованным: если Л е/", то Рп+1(А) = Р" (А). Можно, однако,
утверждать, что на (П, of) не существует вероятностной меры Р такой,
чтобы ее сужение Р | (т. е. мера
Р, рассматриваемая лишь на множествах из af") совпадало с Рп> п= 1, 2,
... В самом деле, допустим, что такая вероятностная мера Р существует.
Тогда
Р {со: ф1(со) = ... = ср"(со)= \ \ = Рп {со: фх (со) =... = ф" (со) =
1} = 1 ,
(19)
для любого п= 1, 2, ... Но
{со: ф1(со) = ... = фл(со)= 1} == (0, 1 /п)1ф,
что противоречит (19) и предположению о счетной аддитивности (а значит, и
непрерывности в "нуле" ф) функции множеств Р.
182 ГЛ II МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Приведем теперь пример вероятностной меры в (R00, S (Я"))-Пусть F1(x),
F2(x), ... - последовательность одномерных функций распределения.
Определим функции G(x) = Fx(x), G2(xx, х2) = = Fx (aJ F2 (x2) , ... и
соответствующие им вероятностные меры на (R, S3(R)), (R2, S(R2)), ...
обозначим Px, P2, ... Тогда из теоремы 3 следует, что в (R=°, S3 (Rx))
существует такая мера Р, что
Р {х е= RS (хх, .... х")е= В} = Рп (В), B^S3 (R")
и, в частности,
Р^еГ: хх ..., хп ==с ап\ = Fx (ах) ... Fn(an).
Возьмем в качестве Ft (х) - бернуллиеьское распределение:
[ 0, х < 0,
Ft (х) = \ q, 0 ==? х < 1,
( 1, а^ 1.
Тогда можно утверждать, что в пространстве Q всех числовых
последовательностей а=(а1, а2, ...), а; = 0, 1, с а-алгеброй его
борелевских подмножеств существует вероятностная мера Р такая, что для
любого
Р {а: х1 = а1, ..., an = an} = p'Zaiqn~'Lat.
Заметим, что именно этого результата нам не хватало в первой главе, чтобы
сформулировать закон больших чисел в форме (1.5.8).
5. Измеримые пространства (RT, <S!{RT)). Пусть Т - произвольное
множество индексов и ^ - числовая прямая, соот-
ветствующая индексу i. Рассмотрим произвольный конечный неупорядоченный
набор т = [/г, ..., tn\ различных индексов tit /;еГ, п'^\, и пусть Рх -
вероятностная мера на (Rx, S3 (Ят)) с Rr = Rt1x...xRtn.
Будем говорить, что семейство вероятностных мер {/\}> гДе т пробегает
множество всех конечных неупорядоченных наборов, является согласованным,
если для любых наборов т = [^, ..., tn\ и a = [slt ..., sk\ таких, что
ost
Ro {(*Sl *sk) ¦ (*v . • •, -%) е В} =>
= Px{(xtL Xin)\{xh, ..., xSl)efi) (20)
для любого В <= S3 (Ra).
Теорема 4 (теорема Колмогорова о продолжении меры в (RT, S3(RT)). Пусть
[Р х} - семейство согласованных вероятностных мер на (Rx, S3(RX)). Тогда
существует и притом единственная вероятностная мера Р на (RT, S3 (RT))
такая, что Р{х еЯН xia)^B} = Plu /д](5) (21)
