Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В соответствии с этим определением всякий случайный элемент X (со) со
значениями в Rn является n-мерным случайным вектором. Справедливо и
обратное: всякий случайный вектор X (ot) = (|j (со), ..., 1л (со)) есть
случайный элемент в Rn. Действительно, если Bh^F3(R), k=l, ..., я, то
{со: X (со)е(51Х...Х5л)}= Д {со: ?*(со)ей^е/.
А = 1
Но наименьшая а-алгебра, содержащая множества Вгх.. .хВп, совпадает с
<?J3(Rn). Тогда из очевидного обобщения леммы 1 из § 3 сразу получаем,
что для любого Be Sd (Rn) множество {со: Х(со)еВ} принадлежит F.
Пусть (В, E)=(Z, еу^(Х)), где Z-множество комплексных чисел z - x-\-iy,
х, y^R, а S3 (Z) - наименьшая а-алгебра, содержащая множества вида {z: z
= x-\-iy, al</x^bl, а2</у^Ь.г}. Из предыдущего рассмотрения следует, что
комплекснозначная случайная величина Z (от) представляется в виде Z (со)
= X (со) + гТ(со),
194 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
где X (со) и Y (со) - случайные величины. Поэтому Z (со) называют также
комплексными случайными величинами.
Пусть (Е, S) = (RT, <?B{Rr)), где Г -некоторое подмножество числовой
прямой. В этом случае всякий случайный элемент X = = X (со),
представимый, очевидно, в виде X = (^)isT с 1г = лгХ, называют случайной
функцией с временным интервалом Т.
Так же мак и для случайных векторов, устанавливается, что всякая
случайная функция является в то же самое время случайным процессом в
смысле следующего определения.
Определение 3. Пусть Т - некоторое подмножество числовой прямой.
Совокупность случайных величин X = {%i)t<= т называется случайным
процессом с временным интервалом Т,
Если Г = {1, 2, то Х = (с1, Н2, ...) называют случайным процессом с
дискретным временем или случайной последовательностью.
Если Т- [0, 1], (-оо, со), [0, со),..., X - (lt)tsT называют случайным
процессом с непрерывным, временем.
Используя структуру о-алгебр вЮ(Рт)(§ 2), нетрудно показать, что всякий
случайный процесс X = (?Д<=г (в смысле определения 3) является в то же
самое время случайной функцией пространства (RT, 33{RT)).
Определение 4. Пусть Х = (%t) ie т - случайный процесс. Для каждого
фиксированного со eQ функция (|Дсо ))/ег называется реализацией или
траекторией процесса, соответствующей исходу со.
По аналогии с определением 2 § 4 естественно следующее
Определение 5. Пусть X = (?/Ьет - случайный процесс. Вероятностная мера
Рх на (RT, <P3(RT)) с
Рх(В) = Р {со: Х(сй)еД}, B^<?B(RT),
называется распределением вероятностей процесса X. Вероятности ptx = (Ц
Ьп)^В)
с tx < /3 <... < tn, tt е Т, называются конечномерными вероятностями (или
распределениями вероятностей). Функции
"" '*п ('Н' ' ' •' ^п) === Р {^* ^1" * * Хп}
с Т, называются конечномерными функциями
распределения.
Пусть (Е, Ш) = (С, s530(С)), где С - пространство непрерывных функций х-
(хt)t<=T на Г = [0, 1] с с-алгеброй <03й (С), порожден-ной открытыми
множествами (§ 2). Покажем, что всякий случайный элемент X пространства
(С, 33й (С)) есть в то же самое время случайный процесс с непрерывными
траекториями в смысле определения 3.
§5 СЛУЧШНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 193
В самом деле, согласно § 2 множество А = {х е С: xt <С а\ есть открытое
множество в <у/Зй (С). Поэтому
{со: \t (со) < а} = {со: X (со
С другой стороны, пусть X = (?Дсo))i(=r есть случайный процесс (в смысле
определения 3), траектории которого при каждом we Q являются непрерывными
функциями, В соответствии с (2.14)
х<= Sp(*°)} = f){reC: j -4/{| <p},
где ^ - рациональные точки отрезка [0, 1]. Поэтому
{со: X(co)eSp(XOco))}=n{co: | ^ (со) - |?ft(co) [ < р} е ^
h
а значит, и {со; X (со)е5}е/ для любого В<=?В$ (С).
Аналогичные рассуждения показывают также, что всякий случайный элемент
пространства (D, 3730(D)) может рассматриваться как случайный процесс с
траекториями из пространства функций без разрывов второго рода, и
наоборот.
2. Пусть (Q, aF, Р) - вероятностное пространство и (Еа, Ша) -
измеримые пространства, где индекс а принадлежит некоторому
(произвольному) множеству Я.
Определение 6. Будем говорить, что оГ/1а-измеримые функции (А^ (со)), а е
21, независимы (ити независимы в совокупности), если для любого конечного
набора индексов а1( ..., а" случайные элементы Ха Хап независимы, т. е.
Р (Xai е Bav ..., Хап (= BaJ = Р (XKi е Bay)... Р (Х"л е= 5ап), (3)
где Ва е
Пусть 5?! = {1, 2, ?а - случайные величины, йен 91, и
(Aj, ..хп) - Р (t^ X}, ,.лу)
- "-мерная функция распределения вектора l = (h, ?"). Пусть
(а,) - фу нкцня распределения случайной величины t,, i = 1,..п. Теорема.
Длч того чтобы случайные селичины {ц,..., \п были независимы, необходимо
и достаточно, чтобы для всех (xv ..., хп) е Rn
Fl (*i, ..хп) = Fh (Xl) ... F*Jxn). (4)
Доказательство. Необходимость очевидна. Для доказательства достаточности
положим а = (аъ ..., ап), b = (Ьъ ..Ьп)
Р\ (в| b] = Р {со. пу <3 {ц' &i, ..ыг bn\
Pi, (ai> b,] = P {a, <?,<&,}•
196 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕН
Тогда в силу (4) и (3.7)
Pi (я. b]=f[ [Fu (&,') - F,. (а,)] = П Ри (я<1 bi]
