Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
1-1 1=\
и, значит,
Р {|, е/1(..|я е= /"} = П Р Ш ^ /,}, (5)
1=1
где /,- = (а,-, Ь,].
Зафиксируем /2,..Iп и покажем, что для любого S(e(f (R)
Р И, е |2 <= /2, ..|я е= /"} = Р {|, eflj П Р {|г- е /,•}. (6)
1 - 2
Пусть оМ - совокупность множеств из <33 (R), для которых выполнено (6). В
о# входит, очевидно, алгебра arf множеств, состоящих из сумм
непересекающихся интервалов вида /i = ("i, Ь{\. Поэтому атб s еЖ s 'i/o
(R). Из счетной аддитивности (а следовательно, и непрерывности)
вероятностной меры следует также, что система <Ж является монотонным
классом. Поэтому (см. п. 1 § 2)
(1 (еЛ?) (R).
По согласно теореме 1 из § 2 р {вЛ) = о (а4г) - S3 (R). Поэтому
a%=<?/3(R).
Итак, (6) доказано. Фиксируя теперь Blt /3, ..., / ", тем же методом
доказываем справедливость (6) с заменой /2 на борелевское множество Б2.
Продолжая этот процесс, очевидным образом приходим к требуемому равенству
Р (|, ей,,..., |" еВ") = Р (It <= 5J... Р (|" е Вп),
где Bt е (R). Теорема доказана.
3. Задачи.
1. Пусть |ь - дискретные случайные величины. Показать,
что они независимы тогда и только тогда, когда для любых действительных
хъ хп
П
Р (|, = Хи . . ., |" = Хп) = ПР & = XJ-
1=1
2. Провести доказательство того, что всякая случайная функция (в смысле
определения 1) есть случайный процесс (в смысле определения 3), и
наоборот.
3. Пусть Хг, ..., Хп - случайные элементы со значениями в (Elt Bj),.,,
(Еп, Вп) соответственно. Пусть, далее, (Е\,Ш\),..., (Е'",В'п) - измеримые
пространства и glt ..., g" являются BjB'u ..$"/?я-изме-
§5 ПНТЕГР\Л ЛПБЕГА МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ 07
римыми функциями соответственно. Показать, что если Хг, ... ,Хп
независимы, то независимы также и случайные элементы ^1 в -^1" • • •" §п
0 Хп.
§ 6. Интеграл Лебега. Математическое ожидание
1. В том случае, когда (Q, aF, Р) - конечное вероятностное пространство и
% = | (со) - простая случайная величина,
?(<*>)= 2 Н. (1)
*= 1
понятие математического ожидания М? было определено в § 4 гл. I. Та же
самая конструкция математического ожидания от простых случайных величин |
используется и в случае произвольного вероятностного пространства (П, aF,
Р). А именно, по определению полагается
М?= 2 **Р(ЛА). (2)
k= 1
Это определение корректно (в том смысле, что значение М? не зависит от
способа представления g в виде (1)), что показывается точно так же, как и
в случае конечных вероятностных пространств. Аналогичным образом
устанавливаются простейшие свойства математического ожидания (см. п. 5 §
4 гл. I).
Цель этого параграфа- дать определение и изучить свойства математического
ожидания произвольной случайной величины. С точки зрения анализа
математическое ожидание Ms есть не что иное, как интеграл Лебега от eF-
измеримой функции ? = s(co) по мере Р, для которого (наряду с М^)
используются также следующие обозначения: jj Е (со) Р (dco) или ^ ? dP.
я я
2. Пусть g = g (со) - неотрицательная случайная величина. Построим
последовательность простых неотрицательных случайных величин 1
таких, что (со) f ? (со), и-о-со, для каждого
соей (см. теорему 1 в § 4).
Поскольку М?" М?л+1 (ср. со свойством 3) из п. 5 § 4 гл. I),
то существует ПтМ|л, который может принимать и значение +оо.
П
Определение I. Интегралом Лебега от неотрицательной случайной величины ?
= ?(со), или ее математическим ожиданием, называется величина
М? slim ML.. (3)
П
Чтобы это определение было корректным, надо показать, что значение этого
предела не зависит от выбора аппроксимирующей
1-8 ГЛ II МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
последовательности {?"}. Иначе говоря, надо показать, что если \п f I и
г]т |?, где {r]m} - последовательность простых функций, то
limMt,, = lim Mi]m. (4)
п т
Лемма 1. Пусть ц и \п - простые случайные величины, п^1, причем
In f ?2ЭГ|-
Тогда
lim ^5 Mr). (5)
т
Доказательство. Пусть е>0 и
Л" = {ш: |"5гг)-е}.
Ясно, что Ап f Q и
In = \п1А +Ыа -^|л/л 2г(т1-Е)^л • нп п п п
Поэтому, используя свойства математических ожиданий от простых случайных
величин, находим, что M!" Ss М (г) - S)1ап = - еР (/4") =
= Мц - Мц/л^ - еР (Ап) ^ Мц - СР (Ап) - е,
где С = max ц (от). Отсюда в силу произвольности е > 0 вытекает
(О
требуемое неравенство (5). Из этой леммы следует, чтоПтМ|я1Э=
П
Зг lim Мг|т и по симметрии lim Мц,,, У - lim М?л, что и доказывает (4).
п т п
Часто оказывается полезным следующее
Замечание 1. Для математического ожидания М? от неотрицательной случайной
величины ? имеет место следующее представление:
М? = sup Ms, (6)
(sc-5; s :? E)
где S = {s}- множество простых неотрицательных случайных величин (задача
1),
Итак, для неотрицательных случайных величин математическое ожидание
определено. Перейдем теперь к общему случаю.
Пусть ? - случайная величина и ?+ = max (?, 0), = - min (?, 0).
Определение 2. Говорят, что математическое ожидание Ml случайной величины
g существует, или определено, если по крайней мере одна из величин М?+
или М|~ конечна:
min(M?+, М?-)<со.
§ б ИНТЕГРАЛ ЛИБЕГА МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
