Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Вместо слов "P-почти наверное" часто говорят "P-почти всюду" или просто
"почти наверное" (п. п.), "почти всюду" (п. в.).
F. Если S = 0 (п. н.), то MS = 0.
В самом деле, если Е - простая случайная величина, ? = ?xklAk (со) и
хкФ§, то по условию P(Aft) = 0, а значит, МЕ = 0. Если же ?^=0 и
0=sSs==?E, где s - простая случайная величина, то ь = 0 (п. н.), а
следовательно, Ms = 0 и MS = sup Ms = 0. Общий случай сводится к
paCCMOTpeH-
ls <f:S: s <?}
ному обычным переходом к представлению S = ?+ - Н с учетом того, что
S+=s:|H g-<|g| и ||| = 0 (п. н.).
G. Если Е'= П (п. н.) и М | S | < оо, то М|т]|<со и М| = Мг] (см. также
задачу 3).
202 гл II ММПМЛТИЧПСКИЕ ОСНОВ \НИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
В самом деле, пусть = Е?=лЬ Тогда Р((r)-/Д = 0 и Е= = + Ч = Т/^ +
Л7>=Лf^ + U^r- По свойствам Е и F
М§ - Mg/^ + МЕ/= МЕ/^ = Мр/^. Но Mti/^ = 0, поэтому по свойству Е МЕ =
Mil/ - + Мт|/^= Мт|.
H. n^cib Е5а0 п МЕ = 0. Тогда ? = 0 (п. н.).
Для доказательства обозначим А = {со: ?(со)>0}, Ап-{а: g (со) 5з is? 1
/я}. Ясно, что А" f А и 0 "?Е-/д- Поэтому по свой-
ству В
0<МЕ/д <Mg = 0.
П ^
Следовательно,
0 = М|/л;;^^Р(Л")
и, значит, Р(Лл) = 0 для всех п^\. Но Р (Л) = lim Р (Л,,) и,
следовательно, Р (Л) = 0.
I. П>сть ? и г| таковы, что М 1 ? 1 <? со, М | т) [ <? оо и для всех Ле /
М (Е/д) ?=: М (т)/д). Тогда Е^Л (п. п.).
В самом деле, пусть Д = {со: ? (со) > т] (со)}. Тогда М(г]/л)е=с М (IIв)
М (т)7;J) и, значит, М (Е/в) = М (г|/в). В силу свойства Е М ((? - i"i)
Iв) = 0 и по свойству Н (? - r))/B = 0 (п. нд, откуда Р(В) = 0.
J. Пусть Е- расширенная случайная величина и М'Е'<;оо. Тогда | Е [ <Е со
(п. н.). Действительно, пусть Л = {со: [ Е (со), = ос} и Р(Л)>0. Тогда М
1 ? [ 5а М ( Е 11а) = оо • Р (Л) = ею, что противоречит предположению М ]
^ <Е со. (См. также задачу 4.)
3. В этом пункте будут рассмотрены основные теоремы о предельном
переходе под знаком математического ожидания (интеграла Лебега).
Теорема 1 (о монотонной сходимости). Пусть д, Е, Ех, Е-г> • - случайные
величины.
a) Если ?п>гг| для всех n>s 1, Мт)> -оо и Ел f Е. пю
М?л f ME.
b) Если Ел sg т| для всех 1, Мт] "< со и ?л { Е, то
МЕ" { МЕ.
Доказательство, а) Предположим сначала, что г|>0. Пусть для каждого &5э1
{?*" }" ;> i - последовательность простых функций таких, что Е/}п) f ?*,
я-"-оо. Обозначим Е(Л) = шах ?*!).
К/гг^л "
Тогда
?(я-1) . ?(я) _ max ?<я) ;?' max _ ^nt
11"
Пусть Е = ПшЕ(л). Поскольку ДЛЯ 1
§6 ИНТГГР\Т ЛИБСГЛ ЧАТЕМ4ТИЧЕСК0П ОЖИДАНИЕ 203
то, переходя к пределу при п->оо, получим, что для любого k^l
а значит, ? = ?.
Случайные величины ?'я) простые и Дя> f ?. Поэтому
М| = М? = lim Мь(л) < lim М^я.
С другой стороны, очевидно, что, поскольку то
lirnMgrjS^ Mg.
Тем самым lim М|" = Mg.
Пусть теперь г| - произвольная случайная величина с Мт)> - со. Если Мг| =
со, то в силу В М?я = М? = со и утверждение доказано. Пусть Мг| < со.
Тогда вместе с условием Мт) > - со получаем, что М | р j < со. Ясно, что
0 =sg ?" - т) | \ - г| для всех coesQ. Поэтому, согласно доказанному, М
(?" - т]) f М (? - i]) и, значит, (по свойству Е и задаче 2)
Mg" - Мл f Mg-Mt].
Но м | Т) | < со, поэтому Мея f М?, л->со.
Доказательство утверждения Ь) следует из а), если вместо исходных величин
рассмотреть величины со знаком минус.
Следствие. Пусть |г|я}"^ i - последовательность неотрицательных случайных
величин. Тогда
СО со
М 2 г1"= 2 МгЬ*
п = 1 /1=1
Доказательство следует из свойства Е (см. также задачу (2)
k
теоремы о монотонной сходимости и того замечания, что ^ цп f
п = 1
со
t 2 лП. k-+CO.
П= 1
Теорема 2 (лемма Фату). Пусть rj, ?.2, ... - случайные
величины.
a) Если ?я13= т) для всех 1 и Mr) > - сю, то
М lim ?, - : lim М§".
b) Если tn sg т) для всех п 1 и Мг| < сю, то
lim М?я < М lim
c) Если |Ня!^т] для всех п>^\ и Мг)<сю, то
М lim ^"sglim "? lim М?л М lim 1п. (7)
204 ГЛ IT МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Доказательство, а) Пусть ?"= inf |m, тогда
tn ^ П
lim \п = lim inf |m = lim?".
11 п т^п п
Ясно, что f lim|" и t,n^r\ для всех 1. Тогда из теоремы 1 М lim \п = М
lim In = lim М?л = Hm М?л ==g lhn М|л,
п п п
что и доказывает утверждение а). Второе утверждение следует из первого.
Третье -есть следствие первых двух.
Теорема 3 (Лебега о мажорируемой сходимости). Пусть 14, с, ?,, |2, .. . -
случайные величины такие, что |?"|sgT], Mr] < со и (п. ".). Тогда
М|?|<со,
+ (8) М||л-?К0 (9)
при п->- со.
Доказательство. В силу леммы Фату справедлива формула (7). По
предположению lim = Игл \п = | (п. и.). Поэтому по свойству G ¦
М lim In = Hm М?л = lim М?л = М Hm ?" = Mg,
что и доказывает (8). Ясно также, что | ? |^т]. Поэтому М [ ?|<оо.
Утверждение (9) доказывается так же, "если только заметить, что | ?л - 5
| sS2r|.
Следствие. Пусть 14, ?, |г, .- случайные величины такие, что |?"|scii,
?л-^1 (п- н.) и Мт}р<схэ для некоторого р> 0.
Тогда М |?|р<оо и М | ? - |р -> 0, п-*~ со.
Для доказательства достаточно заметить, что 11| sc т], || -
<(l?l + l^l)p^(2r|)p.
