Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
теореме 1.
Пусть У0 = |Х0|, У/ = |Х/-Х/_1[, /Ss 1. Тогда |XT|s=S ^ У! и
/ = о
/ Т \ / Т \ со п
mix.icm(ZY, _s EX/W-S S ЕМР=
V -0 / П \/ = 0 / гг - 0 {т= гг} / = 0
со гг со со со
-SS S x,dp=2 2 s у,л"=2 S X/dP.
п=0/ = 0{т = п} / = 0п-/' (t = r.) / = о {Т > /')
Множество {т У : /} = Q\{x < /} е aF?_ ,. Поэтому
^ FydP= ^ М[Г,|ХС, .... ХЛ1]ЙР<СР{т^/}
{т >/) {т>/}
и в силу (8)
Т \ СО
2 У/)^С 2 Р{т^/} = СМт<оо. (13)
V = о / / = о
Далее, если т >/г, то
гг т
,=0 /=0
и поэтому
5 |X"|dP^ 5 ZY,dP.
{х> п} {т>гг} / = 0
х
Отсюда, учитывая, что (согласно (13)) М Уу<оо и что
/ = 0
{т > п\\ ф, п-*~оо, по теореме о мажорируемой сходимости получаем
/ т: \
lim $ |Xn|dPs?lim ^ [EYjjdP==0-
гг -*• со {т>"} п со {т>л} V/= 0 '
Тем самым выполнены условия теоремы 1, из которой следует требуемое
соотношение (12).
Теорема доказана.
3. Остановимся на некоторых применениях доказанных теорем. Теорема 3
(тождества Вальда). Пусть t2, ... - независимые одинаково распределенные
случайные величины с М | | < оо и
х -момент остановки (относительно (3F%), ^% = а{со: ...,|л},
т 1) с Мт < со. Тогда
м (?! + ... + !*) = Мь-Мт. (14)
м\хг
;М
§ 2 СОХРАНЕНИЕ СВОЙСТВА МЛРТИНГАЛЬНОСТП 481
Если к тому же MS! < оо, то
М {&+... + gt) - тМЫ2 = DSi • Мт. (15)
Доказательство. Ясно, что Х = (Х", eF")n^i с Хп = - (Ii + • • • + Sn) -
rtMEi есть мартингал с
Хп\ = М [| ?"+1 - MSi11 Si, ..., Ы =
= М ! L+1 - Mb! I =ss 2М | S,, < оо.
Поэтому по теореме 2 МХг = МА0 = 0, что и доказывает (14).
Аналогичные рассмотрения, примененные к мартингалу У - = (У", aF|) с Уя =
Хп - "DSi, приводят к доказательству соотношения (15).
Следствие. Пусть Si, ... - независимые одинаково распределенные случайные
величины с Р (?-,¦ = 1) = Р (?,¦ = - 1) = 1/2, 5я = ?1 + --- + ?л и т =
inf {п 5=г 1: Sn = 1 }• Тогда Р{т<оз} = 1 (см., например, (1.9.20)) и,
значит, Р(5Т= 1) = 1, MSt = 1. Отсюда и из (14) вытекает, что Мт = оо.
Теорема 4 (фундаментальное тождество Вальда). Пусть Si, |2, ... -
последовательность независимых одинаково распределенных случайных
величин, S" = ?i + ... + Sn. n^l. Пусть ф(/) = Мс'Ч 11= R, причем для
некоторого (0^0 ф (?") существует и cp (t0) O'-1.
Если х - момент остановки (относительно (sF\), {со: ?,,...
..., 1п\, т5=1) такой, что | Sn | С ({т п}\ Р-п. н.) и Мт<со,
то
"[-етг]-1- <16>
Доказательство. Положим
Уя = Л5л (ф (Q)-*.
Тогда У = (У", "Г5)я>, есть мартингал с МУ"=1 и на множестве {х^п}
MWY^-Y.WY,, ..., У"} = у"м{|^-1||^ ..., =
= Y" ¦ М {^.ф-1 (to) -1\}^В<оо,
1 где В - некоторая константа. Поэтому применима теорема 2, из которой
следует (16), поскольку МУХ = 1.
Теорема доказана.
Пример 1. Этот пример служит иллюстрацией применения вышеизложенных
результатов к задачам нахождения вероятностей разорения и средней
продолжительности игры (см. § 9 в гл. 1).
Пусть Si. ^2. ••• - последовательность независимых бернуллиев-ских
случайных величин с Р (S* = 1) =р, Р (Si = - 1) = g, р + <?= 1,
482 гл. VII. МАРТИНГАЛЫ
$п = + • • • + in И
T = inf{nSsl: Sn = В или А}, (17)
где (-А) и В - положительные целые числа.
Из (1.9.20) следует, что Р(т<со) = 1 и Мт<оо. Тогда, если
a = P(St = i4), P = P(St = 5), то а + р = 1, и при р = =
1/2
из (14) находим
0 = MST = aH + p5,
откуда
в О \А I
а~В + \А\' Р-В + |Д|'
Применяя (15), получаем
Мт = MSr=ctv42 + рБ2 = | АВ |.
Если же py^q, то, рассматривая мартингал >И нахо"
дим, что
"(*)**-и (Sf- >•
и, значит,
Вместе с равенством аф-р = 1 это дает
\В ,qX\A\
(т) '-I1
\ Р / О \ /
Р/ \ Р У \ Р У \Р/
Наконец, учитывая, что MST = (p - q) Мт, находим Мт - = °-А-\-$в
p-q p-q '
где а и р определяются из (18).
Пример 2. Пусть в рассмотренном выше примере р = q= 1/2.
Покажем, что для всякого 0 < X < А |- и момента т, определенного в (17),
, В + А cos А • -с-,
М (cos А)-т =------------------------------(19)
cos к • -TJ-!
С этой целью рассмотрим мартингал X = (Хп, еГ^)п>о о Хп - (cos к)~п cos Я
§ 2. СОХРАНЕНИЕ СВОЙСТВА МА.РТИНГАЛЬНОСТИ 483
и 50 = 0. Ясно, что
МХ" = МХ0 = cos Я ^4р1. (20)
Покажем, что семейство {Хгедт} является равномерно интегрируемым.
Для этого заметим, что в силу следствия 1 к теореме 1
при 0<Я<?-^-
МХ0 = МХ"ЛТ = М (cos Я)- ("лт) cos Я (s"A* - ?±4) ^
Уз М (cos Я)- ("Лт) cos Я Поэтому из (20)
- В -\~А cos л -~-
М (cos %)' At)
cosAS + ^'
2
и, значит, по лемме Фату
л В -{- А cos А -s-
M(cosA)-^ штаг- (21)
cos А -1---
Следовательно, согласно (19),
| Х"Лт | ^ (cos Я)-т,
что вместе с (21) доказывает равномерную интегрируемость семейства
{Х"дт}. Тогда в силу следствия 2 к теореме 1
cos Я = мх0 = МХТ = М (cos Я)-т cos Я ?=4,
откуда следует требуемое равенство (18).
4. Задачи.
1. Показать, что в случае субмартингалов теорема 1 остается справедливой,
если условие (4) заменить условием
lim ^ XZdP = 0, 1 = 1, 2.
п-+ со (Т^>п)
2. Пусть Х = (Хп, аУя)л^ о - квадратично интегрируемый мартингал, т -
момент остановки и
lim § X"dP = 0,
п -+ с" {т> п)
lim $ |Хп| dP = 0.
Л -+ОЭ {Т> п}
484
ГЛ. VII. МАРТИНГАЛЫ
