Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
случая имеет место следующее усиление неравенства (3):
MS*<8M|S"|.
7. Доказать справедливость формулы (5).
8. Доказать неравенство (8).
9. Пусть о-алгебры eF0, ..., таковы, что ef" ? =... ...Sefn и события
А/i е ft = l, ..., /г. Используя (13), доказать справедливость следующего
неравенства Дворецкого: для всякого е> 0
А = 1
;е + Р
*=i
(Р-п. н.)
§ 4. Основные теоремы о сходимости субмартингалов и мартингалов
1. Следующий результат, являющийся основным во всей проблематике
сходимости субмартингалов, можно рассматривать как вероятностный аналог
того известного факта из анализа, что ограниченная монотонная числовая
последовательность имеет (конечный) предел.
Теорема 1 (Дуб). Пусть Х = (Хп, eF")">i - субмартингал о sup М ! Хп I <
оо. (1)
п
Тогда с вероятностью единица существует предел lim Х,г = АД и М | Хт | <
оо.
Доказательство. Предположим, что
Р (lim Х"> НтХл) >0. (2)
Тогда поскольку
ШгпХл>ПтХл} == (J {ПтХл>(?>о> ИтХл}
а<Ь '
§ 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ
497
(а, Ь - рациональные числа), то найдутся такие а и Ь, что
Пусть Р*(", Ь) - число пересечений снизу вверх последовательностью Хи
..., Хп интервала (а, Ъ) и &) = Птрл(а, Ь).
что следует из (1) и того замечания, что для субмартингалов
(поскольку МХ+ М | X* | = 2МХ+ - МХ" ==? 2ЬЛХ+п - МХг). Но условие МрооК
Ь)< со противоречит допущению (3). Следовательно, с вероятностью единица
существует limX" = Xoo, для которого из леммы Фату
Теорема доказана.
Следствие 1. Если X - неположительный субмартингал, то с вероятностью
единица существует конечный предел НтХ".
Следствие 2. Если Х = (Х", - неположительный
субмартингал, то последовательность Х = (Х", eF") с 1=^п^оо, Хм, - limX*
и еГда = о ((J aF") образует (неположительный) субмартингал.
Действительно, по лемме Фату
Следствие 3. Если Х = (Х", eF")-неотрицательный мартингал, то с
вероятностью единица существует lim Х".
В самом деле, тогда
Р {lim Хп > Ъ > а > lim Хп\ > 0.
(3)
П
Согласно (3.27)
и, значит,
МРОТ (а, Ъ) - lim Мр" (а, Ь)^~-т----<со,
п о а
sup 1 а
п
sup М j Хп [ < оо с=> sup MX); < со
П
п
М [ Хда | sgsup М | X* j < оо.
П
МХЮ = М limXn^z lim MX* д = MX! > - со
и (Р-п. н.)
М (Хоо I сFm) = М (lim Хп I aFm) s" lim М (X* | <Ут) S& Хт.
sup М | Х" | = sup MX* = MXj < со
П
п
и применима теорема 1.
498 ГЛ. VII. МАРТИНГАЛЫ
2. Пусть Ei, ?2, ... - последовательность независимых случайных
величин с Р(Ег = 0) = Р(Ег = 2)= 1/2. Тогда Х=(ХЯ, еГ^)
П
с Х" = Е, и а?1 = сг{со: Еь ..., ?"} есть мартингал с МХ" = 1
i= 1
и Хп ->¦ Хоэ == 0 (Р-п. н.). В то же время ясно, что М | Хп - | =
1
Ы
и, значит, Хп-аХоо. Таким образом, условие (1) не обеспечивает, вообще
говоря, сходимость Хп к в смысле L1.
Приводимая далее теорема 2 показывает, что если предположение (1) усилить
до предположения равномерной интегрируемости семейства {Х"} (из
которой условие (1) следует согласно п. 4
§ 6 гл. II), то тогда наряду со сходимостью почти наверное
будет выполняться и сходимость в смысле ZA
Теорема 2. Пусть X - (Хп, <Уп) - субмартингал, для которого семейство
случайных величин {Х"} равномерно интегрируемо. Тогда существует такая
[случайная величина Хсо с М j Хт j < со, что при п-у со
Хя->Хоо (Р-П.н), (4)
Х" Х". (5)
При этом последовательность X = (Хп, J2""), 1 ^ п "? со, с а^со = = о ((J
oFn) также образует субмартингал.
Доказательство. Утверждение (4) следует из теоремы 1, а утверждение (5) -
из (4) и теоремы 4 § 6 гл. II.
Далее, если А <= aF" и т^п, то
М/л | Хт - Ха, | ->¦ 0, т-у со,
и поэтому
lim ^ Хт dP = ^ Ха, dP.
А
Последовательность /?Хт</Р\ является неубывающей и,
\л ) п
значит,
$X"dP< \XmdP^ \XoodP,
AAA
откуда Xn^M(Xco|Jr") (Р-п. н.) для всех "5si.
Теорема доказана.
Следствие. Если Х = (Х", J~n) - субмартингал и для некоторого р > 1
sup М | Хп |р < со, (6)
П
то существует интегрируемая случайная величина Х&, для которой выполнены
(4) и (5).
§ 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ 499
Для доказательства достаточно заметить, что, согласно лемме 3 § 6 гл. II,
условие (6) обеспечивает равномерную интегрируемость семейства {Хп}.
3. Приведем теперь теорему о свойствах непрерывности условных
математических ожиданий, которая была одним из самых первых результатов
относительно сходимости мартингалов.
Теорема 3 (П. Леви). Пусть (Q, aF, Р) - вероятностное пространство,"
(^n)n^i -неубывающее семейство а-алгебр, aFiS Е aF2 s... Е aF. Пусть | -
некоторая случайная величина с М 111 < оо и aFoo = a^(J oF"j. Тогда Р-п.
н. и в смысле L1
M(g|aF")->-M(g|aF00), п-+оо, (7)
Доказательство. Пусть Х" = М(?|аF"), n^l. Поскольку 5 |X,|dP< ^ М
(| Б J | oF,) dP = ^ |?|dP
{| X.^a) {| /,!>.}
И
sup P {| X,-1 ^ a) sup - ^ X- -¦ - 0, a->- oo,
/' i a a
то (лемма 2 § 6 гл. II) семейство {Xn} равномерно интегрируемо
и, значит, по теореме 2 существует случайная величина Хт
такая, что 7fn = M(^|aF>-Х
ОО
(Р-п. н. и в смысле L1), Поэтому
надо лишь показать, что
Хт = М (? | aFoo) (Р-п. н.).
Пусть т^п и y4esF". Тогда
\XmdP= [XndP = 5M(||aF")dP= JgdP. л л л л
