Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
MliCoo, Мт|? < со, величина (X, У)л равна
<Х, Y)n = J] cov (&, т],).
1 = 1
Последовательность (X, У) = ((Х, У)", аУл_1) часто называют взаимной
характеристикой (квадратично интегрируемых) мартингалов X и У.
8. Задачи.
1. Показать эквивалентность условий (2) и ^З).
2. Пусть а и т - марковские моменты. Показать, что т + а, т Д а, т V а
также являются марковскими моментами, и если Р (а ^ т) = 1, ТО еУст Е
aFT.
3. Показать, что т и Хх являются (^-измеримыми.
4. Пусть У = (УЛ, оУл) - мартингал (субмартингал), V - {Vn, eF"_i) -
предсказуемая последовательность и (У • У)л - интегрируемые случайные
величины, п 5=0. Показать, что тогда У-У есть мартингал (субмартингал).
5. Пусть sFi ^ аУ2 s ... -неубывающее семейство а-алгебр и Е; -
интегрируемая случайная величина. Показать, что последовательность
(Х")"5*1 с Хл = М(?|еУл) образует мартингал.
6. Пусть з э ... - невозрастающее семейство а-алгебр и S - интегрируемая
случайная величина. Показать, что последовательность (Х")я>1 с Хл - М (S
j образует обращенный мартин-
§ S. ^ОХРАНЕНИЕ СВОЙСТВА МАРТИНГАЛЬНОСТИ
477
гал, т. е.
М (Хл) Хл+1, Хп+2, ...) = Хп+1 (Р-п. н.)
для любого п ^ 1.
7. Пусть 13, |3, ... - независимые случайные величины,
П
Р(^ = 0) = Р(^ = 2)== ~ и Хп= Показать, что не суще-
1= 1
ствует такой интегрируемой случайной величины S; и неубывающего семейства
о-алгебр (аТп), что Хп == М (|| J~n). (Этот пример показывает, что не
каждый мартингал (Хп)п^\ представим в виде (М (| !<#""))">и ср. с
примером 3 § 11 гл. I.)
§ 2. О сохранении свойства мартингальности при замене времени на
случайный момент
1. Если X - (Xn, sFn)"^0 -мартингал, то для всякого я^=1
МХЛ = MX,. (1)
Сохранится ли это свойство, если вместо момента п взять марковский момент
т? Приведенный в предыдущем параграфе пример 8 показывает, что, вообще
говоря, это не так: существует такой мартингал X и марковский момент т
(конечный с вероятностью единица), что
МХТ^МХ0. (2)
Следующая важная теорема описывает те "типичные" ситуации, для которых, в
частности, MXt = МХ0.
Теорема 1 (Дуб). Пусть Х - (ХП, ёхп) - мартингал (субмартингал]), Ti и т2
- моменты остановки, для которых
М j | < со, t = l, 2, (3)
lim ^ !*"|dP = 0, 1=1, 2. (4)
П->00
Тогда
M (ХТг | efTl) (5> XXl ({Ta^Ti}; Р-п. и.). (5)
Если к тому же Р(т1^т2) = 1, то
МХТ, (^) MX*,. (6)
Доказательство. Достаточно показать, что для всякого А е J~Xl
^ XTldP(5) ^ XXidP. (7)
478 ГЛ, VII МАРТИНГАЛЫ
В свою очередь для этого достаточно установить, что для любого
$ XtldP(>, S X^dP'
<4fl П {T,= n) ЛП f| {T!=¦"}
или, что то же,
$ *т,<*Р(>) $ X"dP, (3)
где В - Л n {Ti = "} s аГл.
Имеем
5 X"dP- J X"dP+ ^ X"dP(5> ^ XJP +
В П {т2= л} Bf|{T2>n} ВП(Та=п}
+ 5 M (X"+1 | "F") dP => 5 Xx,dP+ I X"+1dP(5,
ЯП{т">п} ВП{т2=п} ВПП,^+1)
Ю 5 XTsdP + 5 Xn+2dP ?)¦•¦?)
?П{п<г2<ч + 1} ВП(х,^л+2)
<<) § Xx2 dP -f- § Xm dP,
Bf] (Хг>т}
откуда
$ xX!dPS) I xndP- $ xmdP
?flH<gTj<m} ВПЩ<т2} Bfl{m<t!)
и в силу (4)
^ Xx%dP (5) Tim Г ^ X"dP - J XmdP=
ВП{т2>п) m-*°°LBn{n<r2} Bfl{m<x,)
J X"dP-Hm J XmdP = J X"dP,
'"-"вшжт,) вП(г2^")
что и доказывает (8), а значит, и (5), Наконец, соотношение (6) следует
из (5).
Теорема доказана.
Следствие 1. Если существует константа N такая, что P(ti^X)=1, Р
(та"ёЛ0=1, то выполнены условия (3), (4). Поэтому, если к тому же
P(ti^t2)=1 и X -мартингал, то
MX0 = MXTl = MXt2 = MXiV. (9)
Следствие 2. Если семейство случайных величин {Хп} равномерно
интегрируемо (в частности, если с вероятностью единица |Х"|<С< оо,
rtSsO), то выполнены условия (3) и (4).
Действительно, Р (т* >")->- 0, л->- оо, поэтому условие (4) следует из
леммы 2 § 6 гл. II. Далее, поскольку семейство {Х"} равномерно
интегрируемо, то (см. II.6.16))
sup М | XN | < оо. (10)
N
§ 2. СОХРАНЕНИЕ СВОЙСТВА МАРТИНГАЛЬНОСТИ 479
Если т - некоторый момент остановки и X - субмартингал, то, согласно
следствию 1, примененному к ограниченному моменту тлг = т Д N,
mx0^mxXn.
Поэтому
М [ X*v ] = 2bftXtN - MXXN- Г: 2MXtN - МХ0. (11)
Последовательность Х+ = (Х%, aFn) является субмартингалом (пример 5 из §
1) и, значит,
MX^n = 2 S XfdP+ \ Х% dP^X [ X%dP +
/=0(xw=/} {X>N) /=0(т N = l]
+ \ XjvdP^MXit^MIXjvl^supMIX^j,
{x>A} N
что вместе с (11) дает неравенство
М j XXn [ < 3 sup М | XN I, откуда по лемме Фату
M|XT|<3supM|X*|.
N
Поэтому, выбирая т = тг, 1=1, 2, и учитывая (10), получаем, что М I Хх. I
< со, 1=1, 2.
I Z I
Замечание. В примере 8, рассмотренном в предыдущем параграфе,
J | Хп [ dP = (2п - 1) Р {т >• п] = (2п - 1) • 2~п 1, л-"- со,
{т>л}
и, следовательно, нарушается условие (4) (для т3 = т).
2. Для приложений часто оказывается полезным следующее предложение,
выводимое из теоремы 1.
Теорема 2. Пусть X = (Хп) - мартингал {су б мартингал) и х - момент
остановки (относительно (а?"х), <>Fx=o (со: Х0,..Хл}). Предположим, что
Мт < оо,
и для любого п^О и некоторой константы С
М{|Хл+1-Х"|| "ГЯХ}^С (Р-п. н.).]
Тогда
М | Хх | < оо
480 гл. VII МАРТИНГАЛЫ
Доказательство. Проверим для т2 = т выполнение условий (3) и (4) в
