Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
dP =
= f I + Brpr + J~f) Mx1^ < со.
492 ГЛ. VII МАРТИНГАЛЫ
Следствие 2. Пусть М = (Мп) - мартингал с М | Мп \ir <. со для некоторого
1 и такой, что (Л4о = 0)
(22)
П = 1
тогда (ср. с теоремой 2 § 3 гл. IV) имеет место усиленный закон больших
чисел:
-•->-0 (Р-п. н.), оо. (23)
В случае г = 1 доказательство проводится по той же схеме что и
доказательство теоремы 2 § 3 гл. IV. А именно, пусть
АМь
т"
г"= 2
Тогда
k
к = 1
ik = = 1 у Mm,
п п п ш
k = 1
и, согласно лемме Кронекера (§ 3 гл. IV) для сходимости (Р-п. н.)
П
^ Мт,->- 0, п-*-оо,
к = 1
достаточно, чтобы (Р-п. н.) существовал конечный предел lim тп,
П
что в сбою очередь (теоремы 1 и 4 из § 10 гл. II) имеет место в том и
только том случае, когда
Р j^sup | mn+k - тп | Ss е| -+• 0, п со. ' (24)
В силу неравенства (1)
^ М (АМк)*
Pjsup |тл+,- тп\^е,у.
k = П
Поэтому требуемый результат следует из (22) и (24).
Пусть теперь г>\. Утверждение (23) эквивалентно тому (теорема 1 § 10 гл.
II), что для всякого е>0
( \м,\ ^
§ 3. ОСНОВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
В силу неравенства (29) из задачи 1
493
ГР {sup = e2r lim Р { шах
V ^ п 1 ) т -> со '¦я ^ ^
1
М|Л1"
"Г + 2 FM(! М;Г-\М;-гГ)-
/ ^11 -Ь 1
Из леммы Кропекера и условия (22) вытекает, что
lim-- М | Мп |2/" = 0.
Я -> СО
Поэтому для доказательства (25) достаточно лишь показать, что
(26)
2
Имеем
'лг;
N
J 1
| Г
I _ м ! Aly-x ,*-] =
/=2 N Ъ?
/=3
(/-О*
1
('2Г
М 1 М,^ |2г-
М j |*г
В силу неравенства Буркхольдера (17) и неравенства Гёльдера
М | М] 12г •
м
Поэтому
/л-
Е (АМ#
/= 1
М/'-1 У] j ДЛБГ-
i=1
У2' (УН-1)^]уГ 1 21 М' АЛ^Г
i = 1
/V -1
N
¦с' 2 -у 2 мрш,г<с, 2
/ = 2
i=l
/ = 2
(С,-некоторые константы), что в силу (22) доказывает оценку (26).
Последовательность случайных величин {Xn}n^>i имеет с вероятностью
единица предел ПтХ" (конечный или бесконечный) тогда и только тогда,
когда число "осцилляций между двумя любыми (рациональными) числами а и Ь,
а<.Ь", конечно с вероятностью единица. Приводимая ниже теорема 3 дает
оценку сверху среднего числа "осцилляций" для субмартингалов, которая в
следующем параграфе будет использована для доказательства
фундаментального результата о их сходимости.
494 гл. VII. МАРТИНГАЛЫ
Зафиксируем два числа а и b, a<ib, и для стохастической
последовательности X = (Хп, aFn) определим моменты!
т" = 0,
T1 = min{ft>0: Х"г^а},
T2 = min{n>T1! X"Ss6},
T2m-i = min{ft>T2m-2! Xn=sca},
T2m = rnin{n>T2m_1: Xn^zb},
полагая т* = 0, если соответствующее множество {•} пусто.
Далее, для каждого я 1 определим случайные величины
{ 0, если т2 > я,
Рп(а, Ь) = < ,
' (max {яг: т2тг^я}, если т2^я.
По своему смыслу р" (а, Ь) есть число пересечений (снизу вверх) интервала
[а, 6] последовательностью Хь Хп.
Теорема 3 (Дуб). Пусть Х = (Х", <Fn)n-^i -субмартингал. Тогда для любого
я ^ 1
Щп(а, Ь) < -М 1~п~а]-~. (27)
Доказательство. Число пересечений субмартингалом X =* "= (Х", aF")
интервала [а, 6] совпадает с числом пересечений интервала [0, Ь - а]
неотрицательным субмартингалом Х+ =
, = ((Хп - й)+, а?п). Поэтому, считая рассматриваемый субмартингал X
неотрицательным и й=0, надо доказать, что
ММО, 6)<-^. (28)
Положим Х0 = 0, аГо = {0. И пусть ДЛЯ 1=1, 2,
если хт < t ^ хт+1 для некоторого нечетного т.
Ф< '
если хт < i ^ хт+1 для некоторого четного т, Нетрудно видеть, что
*Р"(о, 6) Ф/[х(-х,_1]
И
{ф< = 1} = U \ N+l < l'}] S аГ,-!.
т - нечетно
§ 3. ОСНОВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. 495
Поэтому
мр" (0, b) < М S <р, [X, - Хм] = 2 5 (X,. - Хм) dP =
(=1 г=1 {<г>;=1}
= 2 $ М(Хг-Хм!^('-1)йР-
< = 1{ф,=4
= 2 S [М (X,- j оГм) - Хм] ^Р *?
(=1{Ф,=4
J[M (X, 1 aF, _!) - Хм] dP = МХЛ,
1 = 1 а
что и доказывает неравенство (28).
4. Задачи.
1. Пусть Х = (Х", aF") - неотрицательный субмартингал и V = (V", е^л-i) -
предсказуемая последовательность такая, что О ^ Ул+1 "ё Vn С (Р-п. н.),
где С -некоторая константа. Показать, что имеет место следующее обобщение
неравенства. (1):
П
еР I max V,XA + \ VuXndP^^ МУ/АХ/. (29)
f I max Г,Х.<е\ j-l
' 1 J
2. Пусть X = (X", <&"") - супермартингал. Показать, что
PI шах \Х:\^ъ\?^~- max М|Х/|,
\к/<г! ) е 1 </";<-<
где Сг^З (константа С может быть взята равной единице в случае, когда X -
мартингал или когда X не меняет знака).
3. Доказать справедливость разложения Крикеберга-. всякий мартингал X =
(X", eF") с sup М | Х" | < со может быть представлен как разность двух
неотрицательных мартингалов.
4. Пусть X - (Х", eF") - субмартингал. Показать, что для всякого е>0 и
ti^s 1
еР I min Х/?^: - elssM(X" - Хг)- $ X"dP=s^
l f min X,<-el
lK/^" ' i
^MXJ-MXi.
5. Пусть g1( ?2, ... - последовательность независимых слу-
П
чайных величин, Sn = ?i-f .,.-Нл и Sm,"= ?/• Доказать
1
496 Г Л, VII. МАРТИНГАЛЫ
справедливость следующего неравенства Оттавиани:
Р( шах | S, | > 2е\ ^ --.-Р {!> 8^ ,
и вывести из него, что
оэ со
§ Р j max \Sj\>2t\dt^2M\Sn\ + 2 j Р {| S"| > *} df. (30)
0 ll</sgrt I 2M|S"|
6. Пусть |lt |2. ... - последовательность независимых случайных величин с
М?г = 0. Используя неравенство (30), установить, что для рассматриваемого
