Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Показать, что тогда
X
МХ\ = М(Х)х[ = М ? (А*/)1 .
\ / = о /
где ДХ0 = Х0, АХ/ = Х, - ХМ, /5э=1.
3. Показать, что для каждого мартингала или неотрицательного
субмартингала Х - (Хп, efn)n^o и момента остановки %
М| lim М|Х"|.
П -> СО
4. Пусть Х - (Хп, eF")n> о -сунеомартингал такой, что Хп 5s
(Р-п. н.), n5s0, где М 111 <оо. Показать, что если и т2 -моменты
сстановки с Р (ту =sS т.2) = 1, то
XTl5sM(Xx"| aFtl) (Р-п.н.).
5. Пусть t1, S2, ... - последовательность независимых случайных величин с
Р (Е,- = 1) - Р =- 1) - 1/2, а и b - положительные числа, Ь>а,
Хп = а /(Ь = + 1)-Ь Z '(?* = -1)
t-i *=i
и
т = inf {"5*1: Х"^ - г}, г>0.
Показать, что МеАт < со при Х^а0 и МеАт = со при Я>а0, где
Ь , 2Ь . а , 2а а0 = -гг m -r-г- Ч гг m -
и п _1_ И п _1_ И 1 п _1_ л t
а-\-Ь а-\-Ь а-\-Ь а-\-Ь
6. Пусть Elf Е2, ... - последовательность независимых случайных
величин сМ?; = 0, О?,- = 0ь 54 = ^ + ... + ^/!, ^г" = п{со: |j, ... ...,
?"}. Доказать справедливость следующих утверждений, обоб-
X
щающих тождества Вальда (14) и (15): если М М||/|<;оо,
i= 1
X
то М5Х = 0; если М М?/<оо, то
/= 1
М5^ = М J] = M (22)
/ = I i=i
§ 3. Основные неравенства
1. Пусть Х-(Хп, аГл)" > о - стохастическая последовательность, Х%=*
max \Xj\t |ХЛ||Р = (М |Хп\р\^р, р>0.
0</<л
§ 3. ОСНОВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 485
Теорема 1 (Дуб). Пусть Х = (ХЛ, aF") - неотрицательный субмартингал.
Тогда для всякого е > 0 и любого п Уз О
Р{Х*^е}<1 $ (1)
I Хл \р < IX* РР < I Хл !!Р, если р > 1; (2)
II Хл [pS^lX* {1 + ||X"ln+X" ||р}, если р = 1. (3)
Доказательство. Обозначим
T" = min{/'^": Х;Э=е},
полагая тл = л, если шах X, <; е. Тогда, согласно (2.6),
Ог?/г?л
МХЛ^МХ* =
п
= 5 XxredP+ $ XxndP^e 5 dP + 5 Хл dP.
{х*3*е} " {X* <е} " {Х>е} {х*<е}
Поэтому
еР {Х*^зе} ей МХЛ - $ ХлdP = $ X"dP^MX",
{Х*се} {Х*>е}
что и доказывает (1).
Первые неравенства в (2) и (3) очевидны.
Для доказательства второго неравенства в (2) предположим сначала, что
IIX* ||р < оо, (4)
и воспользуемся тем фактом, что для любой неотрицательной случайной
величины ^ и г>0
mr = r\tr-'P{l^t)dt. (5)
о
Тогда из (1) и теоремы Фубини получаем, что для р>1
M{X*ny=p\t<'-1P{X*n^t}dt^p\tP-4 $ X"dP> dl =
0 0 \{х%>'} j
Г**
$ tP~4t
=р5 tp~*Г5XJ{Хл*> 1}1 dt=p\xn
о La Jo
L О
dP-
:^ТМ[Х"(Х^-1]. (6)
486 гл. VII МАРТИНГАЛЫ
Отсюда по неравенству Гёльдера
М (Х%)Р < q I Хя I • 1|9 = q | Хя \Р [М (X*)^\ (7)
We <7 = ^-
Если выполнено (4), то из (7) сразу получаем второе неравенство в (2).
Если же условие (4) не выполнено, то следует поступить таким образом.
Рассмотрим в (6) вместо Х" величину (Х*ДЕ), где L - некоторая константа.
Тогда получим
м (X* A LY :: ?м [Хп (х* А Цр-'] < ? I х" [М (X* д mx,q,
откуда в силу неравенства М (Х*ДЕ)Р sgLp < оо следует, что
М(ХЙЛ?)*^МХР=^'ХП "р
и, значит,
М (Хп)р~ lim M(X^A^)p=s=9pi|X"||p
L -* со
Докажем теперь второе неравенство в (3).
Снова применяя (1), находим, что
СО
MX* - 1 ?SM(X* - 1)+ = ^ Р {Х^ - 1
о
я J -1^г = МХп\пЛ71.
о
Поскольку для любых а 5=0 и Ь> 0
a In b ==? а 1п+а + be-1, (8)
то
МХ*п - 1 :: МХл In X* Л МХ" 1п+ Х" + е~ЩХ*п.
Если МХ?<со, то отсюда сразу получаем второе неравенство (3). Если же МХ^
- оо, то следует поступить, как и выше, перейдя от величин Х% к Х*ДЕ.
Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть Х = (Х", еГ") - квадратично интегрируемый мартингал.
Тогда Х2 = (Хл, еГ") - субмартингал и из (1) следует, что
P|mjx|Xy|^e|^^. (9)
В частности, если Ху = ?0 \j, где (|у) - последователь-
ность независимых случайных величин с М?у =0 и M?J "< оо,
XndP
\Хп> > + *}
dt = MX
§ 3. ОСНОВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 487
то неравенство (9) превращается в неравенство Колмогорова
(§ 2 гл. IV).
Следствие 2. Если X = (Х", aF") - квадратично интегрируемый мартингал, то
из (2) получаем, что
М[тахХ}]<4МХД- (10)
2. Пусть Х = (Х", aF")- субмартингал и
Хп = Мп + А"
- его разложение Дуба. Тогда, поскольку ММ" = 0, то из (1) следует, что
P{X*5se}<!^.
Нижеследующая теорема 2 показывает, что это неравенство справедливо не
только для субмартингалов, но и для более широкого класса
последовательностей, обладающих свойством доминируемости в следующем
смысле.
Определение. Пусть Х - (Хп, oFn) - некоторая неотрицательная
стохастическая последовательность и А = (А", eFn-i)- возрастающая
предсказуемая последовательность. Будем говорить, что X доминируется
последовательностью А, если
МХТ<МЛТ (11)
для всякого момента остановки т.
Теорема 2. Если X = (Хп, <#"") - неотрицательная стохастическая
последовательность, доминируемая возрастающей предсказуемой
последовательностью А - (А", eFn~i), т0 для г>0, и>0 и любого момента
остановки т
P{*?Sse}=s?-^, (12)
Р {V? е} - М (АхДа) + Р (ДтЗ== а), (13)
IЬ < {^ГII Ат 1Р, 0 < р < 1. (14)
Доказательство. Положим
(j" = min{/'==?тД/г: Xj^b), считая а" = тД/г, если |.} = ф. Тогда
Шх^т0п^т0п^ $ ХаяйР^еР{Х?Лл>е},
{хтЛл >е}
488
ГЛ. VII МАРТИНГАЛЫ
откуда
Р {Ах'лп !> е} === - МАх,
что в силу леыыы Фату доказывает неравенство (12).
Для доказательства (13) введем момент
