Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ширяев А.Н. -> "Вероятность" -> 148

Вероятность - Ширяев А.Н.

Ширяев А.Н. Вероятность — МГУ, 1957. — 581 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnost1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 142 143 144 145 146 147 < 148 > 149 150 151 152 153 154 .. 179 >> Следующая

мартингалов совпадает с классом обобщенных мартингалов. Более того,
каждый локальный мартингал может быть получен с помощью так называемого
мартингального преобразо-
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАРТИНГАЛОВ И РОДСТВЕННЫХ ПОНЯТИИ 471
вания из некоторого мартингала и некоторой предсказуемой
последовательности.
Оп реде лен ие 5. Пусть У = (Ул, аГл),г>о - стохастическая
последовательность и У = (УЛ, aF"_i) - предсказуемая последовательность
(3F_1 = aF0). Стохастическая последовательность У • У = *= ((V • Y)n,
J~n) с
(У ¦ Y)n = У 0У0 + У г АУ(5)
<= 1
где АУ,= Уг- Уг_ь называется преобразованием У с помощью У, Если к тому
же У -мартингал, то говорят, что У-У есть мар-тингальное преобразование.
Теорема 1. Пусть X = (Хл, eFn)n^0~ стохастическая последовательность с Хд
= 0 (Р-п. н.). Следующие условия являются эквивалентным и:
a) X - локальный мартингал;
b) X - обобщенный мартингал-,
c) Х - есть мартингальное преобразование, т. е. существуют предсказуемая
последовательность V = (Ул, sFB-i) с Уо = 0 " лшр-тингал Y~(Yn, аУл) с У0
= 0 такие, что Х=У-У.
Доказательство, а) => Ь). Пусть X -локальный мартингал и (тА) - его
локализующая последовательность марковских моментов. Тогда для любого О
M[|XmAtJ/{tA>0}]<oo, (6)
и тем самым
М [) -^("+ l)Axk I ^(xk>n1 ] " ^ fl Xn+i 11{г/г>п} ] <С °о- (7)
Случайная величина 1{тА>п} является аУ"-измеримой. Поэтому из (7)
следует, что
М [I Хя+1 ] I{х^>п} ]|^]<°о (Р-П. Н.).
Здесь 7{Т >п} 1 (Р-п. н.), k-*~co, и значит,
М [| Хл+1 J | Jr"\< оо (Р-п. н.). (8)
В силу этого условия М [Хл+11 aF"] определено и осталось лишь показать,
что М [Хл+11 sF"] = Х" (Р-п. н.).
Поскольку Ххи -мартингалы, то для любого множества Ле еаГл из (6)
находим, что величины X"+i/{Tft>ni и Хп1^к>п) интегрируемы и
J Хл+1 dP = J ХЛ^Р.
ЛГНтА>п} ЛП{-сА>п}
472 ГЛ. VII, МАРТИНГАЛЫ
Но {т* > л} f ?2, & ->- оо, поэтому
5 ^Я+1 5 ^Я ^ <2^"я"
А А
что и доказывает требуемое равенство М [Х"+1 [aF"] - Х" (Р-п. п.).
b) => с). Пусть ДХ" = Х"-Х"_Ь Х0 = 0 и У" = 0, У" = к= М [| ДХ" 11
eF"_i], л >2 1. Положим \У" = У(r), К" = 0 и
к"= jy \у, дх,-, 1.
i=i
Ясно, что
М [| ДК" 11 JVJ ^ 1, М [АК" | ^1 = О,
и, следовательно, Y = (Yп, eF") есть мартингал. Далее, Х" = - К0-К0 = 0 и
А (V • К)" = ДХ". Поэтому
X = V ¦ Y.
c) => а). Пусть X = У • Y, где У - предсказуемая последовательность, К -
мартингал и У0 = К0 = 0. Положим
T* = inf {л=&0: | Ул+11 > А},
считая т* = со, если множество {•}=(c). Поскольку У"+1 являются aF "-
измеримыми, то для каждого k Y-- 1 величины тА являются марковскими
моментами.
Рассмотрим "остановленные" последовательности ХТ* = ((У-' ^)"Лт/{т4>о}.
aF"). На множестве {т*>0} действует неравенство: \Vn/\xk\^k. Отсюда
следует, что для любого п 5=1
м|(1/,5/)яАта,/{та,>0}|<оо. Далее, для л5==1
М {[(У • К)(" + р дТа - (У • Y)n д TJ /{Tft>0} | aF"]=
= /{Tft>0} • У(л + 1) /\xk • M {К(л + 1)л xk - ^n/\xk | aF"J=0.
поскольку (см. пример 7) M {K(" + i)Ata -K"ATft |aF"}= 0.
Итак, для каждого k ^ 1 стохастические последовательности Хт* являются
мартингалами, т* f со (Р-п. н.), и, следовательно, X - локальный
мартингал.
Теорема доказана.
5. Пр и мер 8. Пусть (r]")"^j - последовательность независимых
одинаково распределенных бернуллиевских случайных величин с Р(т]"=1) = р,
Р(т]" = -1) = <7, p-f<7 = 0. Будем интерпретировать событие {т]"=1} как
успех (выигрыш), а событие {г]л = -1} как неуспех (проигрыш) некоего
игрока в л-й партии.
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАРТИНГАЛОВ И РОДСТВЕННЫХ ПОНЯТИЙ 473
Предположим, что его ставка в п-й партии есть Vл. Тогда суммарный выигрыш
игрока за п партий равен
Х" - 2 V,-т),- = X"_j Vпт|Х0 = 0.
г=1
Вполне естественно, что величина ставки V" в п-й партии может зависеть от
результатов предшествующих партий, т. е. от Vx, ... ..., Vn-X и ..., т]^.
Иначе говоря, если положить еГо={0, П} и ")гл = о{(й: r)lt ..., т]"}, то
Vn будет аГл-г-нзмеримой случайной величиной, т. е. последовательность V
= (Vn, eF"_j), определяющая "стратегию" игрока, является предсказуемой.
Полагая У" - = Hi + • • • + 'П/" находим, что
Х" = |]У(ДУг,
?=1
т. е. последовательность X = (Хп, ef") с Х0 = 0 есть преобразование Y с
помощью V.
С точки зрения игрока, рассматриваемая игра является справедливой
(благоприятной или неблагоприятной), если на каждом шаге величина
ожидаемого выигрыша М (Х"+1 - Хп |аГ") = 0 (^0 или ^0). Поэтому ясно, что
игра справедлива, если р = g = 1/2, благоприятна, если p>q,
неблагоприятна, если p<.q.
Поскольку последовательность X = (Х", п) образует
мартингал, если р = g = 1/2, субмартингал, если p~>q, супермартингал,
если p<.q, то можно сказать, что предположение о справедливости
(благоприятности или неблагоприятное(tm)) игры соответствует предположению о
мартингальности (субмартингальности или супермартин-гальности)
последовательности X.
Рассмотрим сейчас специальный класс "стратегий" V = (Vп, с Ух=1 и для п>1
с
V =/ ^ 6СЛИ П1 = -1 Лл-1 = -1.
л~\ 0, в остальных случаях, ' '
смысл которых сводится к тому, что игрок, начиная со ставки Уг=1, каждый
Предыдущая << 1 .. 142 143 144 145 146 147 < 148 > 149 150 151 152 153 154 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed