Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
0, Ме|(п)=1, л^1. Рассмотрим пару последова-
§ 7 ФИЛЬТР КАЛМАНА-БЬЮСИ И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ 4G5
тельностей (0, ?) = (0", ?"), "3=0, с
0Л+1 = а0я + (1 + 0я)Мп+1), (1
1л+1 = А0" + е2 (Л+ 1)*
Будем считать, что 0О не зависит от (е^ е2) и (т0, у0).
Система (19) является нелинейной, и непосредственное применение теоремы 2
невозможно. Однако если положить
§! (я + 1) = -7=ii^=e1 (л + Т),
1V ' БМ(1 + 0")2
то замечаем, что Мёх (л) = 0, MSj (п) ёх (гл) = 0, пфт, Me? (п) = I,
Поэтому наряду с (19) исходная последовательность (0, |) подчиняется
также линейной системе
0л+1 = flj0" + Ьгёг (л-f 1),
^я+i - Aj6n + е2 (л + 1),
где 61 = |/"М (1 + 0")2, a {gj (л)} - некоторая последовательность
некоррелированных случайных величин.
Система (20) является линейной системой типа (13) и, следовательно,
оптимальная линейная оценка та = М (0Я | ?0. • ¦ • i 1А и
ее ошибка уп могут быть определены в соответствии с теоремой 2 из системы
(7), (8), принимающей в рассматриваемом случае следующий вид:
лгя+1 = агтп + ^'i+1 ~ Аim^'
{"2.. I (dl^4 jVn)2
Ул+i - \af!n + 0\) - j ц-А\уп '
где Ь1-]/г М(1+9л)2 должно быть найдено из первого уравнения системы
(19).
Пример 3. Оценка параметров. Пусть 0 = (0Х, ..., 0*) - гауссовский вектор
с М0 = лг и cov(0, 0) = у. Предположим, что (при известных т н у) ищется
оптимальная оценка 0 по результатам наблюдений за /-мерной
последовательностью ? = (?п), л5=0, с
Ui = A0(", D + A^n, t)Q+B1 (л, |)б1(л+1), = 0, (21)
где 8j - те же, что и в системе (1).
Тогда из (7), (8) для тп = М (0 | ^\) и уп находим, что
т,г+1 = тп + упА^(п, ?) [(Б^*) (л, Ъ) + Ах(п, 1)упА${п, |)](r)х
х[1я+1 А0 (л, ^) Ах (л, ?) тп], (22) Y*+i = Y" -(", ?) [{ВгВ1) (л, g) +
Ai("> l)yaAt(n, |)](r)х
X Aj (л, |)Y".
466
ГЛ. VI. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Если матрицы В±В* являются невырожденными, то решения системы (22)
задаются формулами
тп+1 =
Е + у 2 АГ(т{ DiB.BD-'im, I) АЦт, &)
т=0
х
X
т
+ Y S Л*(т- 1)(ВгВГ)-Цт, l)(tm+1-A0(m, ?))
т-0
(23)
Е + У 'Z, Л* (m> D (BiB*)-1 (т> I)
т=О
где Е - единичная матрица.
4. Задачи.
1. Показать, что для схемы (1) векторы т" и 6п - т" не кор-релированы:
М [т'п (6 - тп)] = 0.
2. Пусть в схеме (1) Yo и все коэффициенты, за исключением, быть может,
коэффициентов а0 (п, ?), Л0 (л, |), не зависят от "случая" (т. е. от |).
Показать, что тогда условная ковариация уп также не зависит от "случая":
y" = My".
3. Показать, что решения системы (22) задаются формулами (23).
4. Пусть (0, ?) = (бя, Ы - гауссовская последовательность,
удовлетворяющая следующему частному виду схемы (1):
0я+1 = оОп -f- be± (п + 1)> 5л+1= + Вгъ (п+ !)•
Показать, что если А Ф 0, ЬфО, В Ф0, то предельная ошибка фильтрации у=
lim уп существует и определяется как положи-
п -> СО
тельный корень уравнения
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, ОБРАЗУЮЩИЕ МАРТИНГАЛ
§ 1. Определения мартингалов и родственных понятий
1. Исследование зависимости между случайными величинами осуществляется в
теории вероятностей разными способами. В теории стационарных (в широком
смысле) случайных последовательностей основным показателем зависимости
является ковариационная функция и все выводы этой теории полностью
определяются свойствами этой функции. В теории марковских цепей (§ 12 гЛ.
I и гл. VIII) основной характеристикой зависимости служит переходная
функция, которая полностью определяет эволюцию случайных величин,
связанных марковской зависимостью.
В настоящей главе (см. также § 11 гл. I) выделяется достаточно обширный
класс последовательностей случайных величин (мартингалы и их обобщения),
для которых изучение зависимости проводится методами, основанными на
исследовании свойств условных математических ожиданий.
2. Будем предполагать заданным вероятностное пространство (Й, aF, Р) с
выделенным на нем семейством (aF") а-алгебр sF", п^О, таких, что aF0 ?
SF1 s ... Е aF.
Пусть Х0, Xlt ... - последовательность случайных величин, заданных на (Й,
aF, Р). Если для каждого п^О величины Хп являются aF "-измеримыми, то
будем говорить, что набор X = => (Хя, aF"), 0, или просто X
= (Xп, aF") образует стохасти-
ческую последовательность.
Если стохастическая последовательность X - (Хп, aF") к тому же такова,
что для каждого 1 величины Хп являются аТ п-у измеримыми, то будем это
записывать в виде X = (X", aF"_]), считая aF_1 = aF0> и называть X
предсказуемой последовательностью. Такая последовательность будет
называться возрастающей, если Х0 = 0 и (Р-п. н.).
Определение 1. Стохастическая последовательность Х = - (Х", aF")
называется мартингалом (субмартингалом), если для
4С8
ГЛ. VII. МАРТИНГАЛЫ
всех п^О
М|Х"|<оо, (1)
М (Х"+11 eF") = Хп (Р-п. н.). (2)
О)
Стохастическая последовательность X "= (Хл, aF") называется
супермартингалом, если последовательность -Х = (-Х", sF") есть
субмартингал.
В том частном случае, когда -aF*, где eF'^ = a{w: Х0,...
..., и стохастическая последовательность X = (Х", aF*) об-
разует мартингал (субмартингал), будем говорить, что сама
