Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
последовательность (Хп)п^0 образует мартингал (субмартингал).
Из свойств условных математических ожиданий легко выводится,
что условие (2) эквивалентно тому, что для любого п^О
и А. ен aF п
\ Xn+1dP = $ XndP. (3)
А ОУА
Пример 1. Если {%п)п>о - последовательность независимых случайных величин
с М?л = 0 и Хп = %0 + ... + ?", eF" = - о {со: ?0, ..., ?"}, то
стохастическая последовательность
X = (Хп, aF") образует мартингал.
Пример 2. Если {%п)п^о - последовательность независимых случайных величин
с М?л=1, то стохастическая последователь-
П
ность Х = (Хп, gF") с Х" = П Ik, eFn = a{w: |0............?"} также
*=о
образует мартингал.
Пример 3. Пусть | -случайная величина с М!11<со и eF0 aFi s ... Е <F.
Тогда последовательность X = (X ", eF") с Хп = М (^ j eFл) является
мартингалом.
Пример 4. Если (1")п>о - последовательность неотрицательных интегрируемых
случайных величин, то последовательность (Хп) с Хл = ?" + ...-(-In
образует субмартипгал.
Пример 5. Если Х - (Х", aF") - мартингал и g (х) - выпуклая книзу функция
с М |g(Хп) | <; оо, п^гО, то стохастическая последовательность (g(Xn),
aF") является субмартингалом (что следует из неравенства Иенсена).
Если Х = (Хп, aF") - субмартингал, a g(x) - выпуклая книзу неубывающая
функция с М [ g (Хп) \ < оо для всех п^О, то п), aF") также является
субмартингалом.
Сделанное в определении 1 предположение (1) гарантирует существование
условных математических ожиданий М (Хл+11 aF"), пжгО. Однако эти условные
математические ожидания могут существовать и без предположения М | Хл+11
<; со. Напомним,
§ I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАРТИНГАЛОВ И РОДСТВЕННЫХ ПОНЯТИЙ 459
что, согласно § 7 гл. II, M(X?+i|aFn) и М (Хй+1 |aF") определены всегда,
и если (мы пишем А -В (Р-п.н.), когда Р(ЛДВ)=0)
{со: M(X++i |*F")<oo}U{(c): М(Хй|аГп)<оо}=!Й (Р-п.н.),
то говорят, что М (Х"+11 J2",,) также определено и по определению
полагают
м (Хп+11 aF") = м (Х?+11 J-a) - М (Х;+11 aFB).
Исходя из этого, становится естественным следующее Определение 2.
Стохастическая последовательность X =* *=¦ (Хп, eFn) называется
обобщенным мартингалом (субмартингалом), если для каждого п лг- 0
определены условные математические ожидания M(X"+1|aF") и выполнено
условие (2).
Заметим, что из этого определения Еытекает, что для обобщенного
субмартингала М (Хл+] | зГ") < оо, а для обобщенного мартингала М (|
Хл+111 afn) < оо (Р-п. н.).
3. Вводимое в нижеследующем определении понятие марковского момента
играет исключительно важную роль во всей рассматриваемой далее теории.
Определение 3. Случайная величина т = т(со), принимающая значения во
множестве {0, 1, ..., +оо}, называется марковским моментом (относительно
системы (aF")) или случайной величиной, не зависящей от будущего, если
для каждого п'^0
{т = п\ 6Е aF"п. (4)
В случае Р (т < оо) = 1 марковский момент т будем называть моментом
остановки.
Пусть X = (Х", аТп) - некоторая стохастическая последовательность и т -
марковский момент (относительно системы (aFn)). Обозначим
СО
Хх - 2 ^л7(т=п}((r))
п- О
(тем самым Хт = 0 на множестве {со: т = оо}).
Тогда для каждого В^.<?В (R)
со
{со: 2 {Х"еВ, т = п}еаГ,
п = 0
и, следовательно, Хх является случайной величиной.
Пример 6. Пусть Х = (Х", аГ") - некоторая стохастическая
последовательность и Se<f (i(). Тогда момент (первого попадания в
множество В)
тд = inf {n 5= 0: Х"ей[
470 ГЛ. VII. МАРТИНГАЛЫ
(с тв= + со, если {-^ф) является марковским, поскольку для любого п^О
{тв = п} = {Х0 ^ В, ..., Х"_! ^ В, Хп e5[eiIFп.
Пример 7. Пусть Х - (ХП, <Fn) - мартингал (субмартингал) и т -марковский
момент (относительно системы (aF")). Тогда "остановленная"
последовательность Xх = (Х"Лх, аГл) также образует мартингал
(субмартингал).
В самом деле, из соотношения
П - 1
Хп/\х - 2 Хт! {х=т) ХП1{Т-^::П}
т= 0
следует, что величины Хлдт "^"-измеримы, интегрируемы и
+ I)Ат ^яДх == /{х>я} (^л+1 *"),
откуда
М [Х(я_|_ 1)ДХ - Х"дт joFn] = /{Т> л} М [Ха+1 - Х" I aF я] = 0.
("
С каждой системой (aF") и марковским моментом т относительно ее можно
связать совокупность множеств
eFx - {A^eF: Л(])т = л)е/" для всех 0}.
Ясно, что Qecft и afx замкнуто относительно взятия счетных объединений.
Кроме того, если то ЛП{т = "} =
= {т = л)\(ЛП{т= ri}) е аТ " и, значит, А е eFT. Отсюда следует, что sFt
является а-алгеброй.
Если трактовать AFп как совокупность событий, наблюдаемых до момента
времени п (включительно), то тогда <УХ можно представлять как
совокупность событий, наблюдаемых за "случайное" время т.
Нетрудно показать (задача 3), что случайные величины т и Хх являются ^-
измеримыми.
4. Определение 4. Стохастическая последовательность X = (Xn, aF")
называется локальным мартингалом (субмартинга-лом), если найдется такая
(локализующая) последовательность (т*Ь>1 марковских моментов, что (Р-п.
н.), т*|со
(Р-п. н.), k -> со, и каждая "остановленная" последовательность Хт* =
(ХхАдл •/(Tft>0}, аГ") является мартингалом (субмартингалом).
Ниже в теореме 1 показывается, что на самом деле класс локальных
