Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
раз увеличивает ставку вдвое при проигрыше и прекращает игру вовсе после
первого выигрыша.
Если тц = - 1, т]л = - 1, то суммарные потери игрока за п
партий будут равны
2i2l-1^2n- I.
i=i
474
ГЛ. VII МАРТИНГАЛЫ
Поэтому, если к тому же г]л+1 = 1, то
Хл+1 = Хл + Vn+1 = -(2я - 1) + 2" = 1.
Обозначим г -inf {п^Т. Хп=1]. Если p = q= 1/2, т. е. рассматриваемая игра
является справедливой, то Р (т = п) = (1/2)", Р(т<оо) = 1, Р(ХТ=1)==1 и
МХТ=1. Таким образом, даже в справедливой игре, придерживаясь "стратегии"
(9), игрок за конечное (с вероятностью единица) время может вполне
успешно закончить игру, добавив к своему капиталу еще одну единицу
(MXt=l>Xo = 0).
В игровой практике описанная система игры, заключающаяся в удвоении
ставки при проигрыше и прекращении игры при первом выигрыше, называется
мартингалом. Именно отсюда ведет свое происхождение математическое
понятие "мартингал".
Замечание. В случае p = q - 1/2 последовательность Х = - (Хп, в^п)п^о с
Дф = 0 является мартингалом и, значит, для любого п ^ 1
Шп = МХ0 = 0.
Можно поэтому ожидать, что это соотношение сохранится, если вместо
моментов п рассматривать случайные моменты т. Как станет ясно из
дальнейшего (теорема 1 в § 2), в "типичных" ситуациях МХТ = МХ0.
Нарушение же этого равенства (как в рассмотренной выше игре) происходит в
тех, так сказать, физически нереализуемых ситуациях, когда или т, или |
Хп) принимают слишком большие значения. (Заметим, что рассмотренная выше
игра физически нереализуема, поскольку она предполагает неограниченность
времени игры и неограниченность начального капитала игрока).
6. Определение 6. Стохастическая последовательность ? = (?л> <^гп)п>о
называется мартингал-разностью, если М|?л|<оо для всех п^О и
M(UI^) = 0 (Р-п, н.). (10)
Из определений 1 и 6 ясна связь между мартингалами и мартингал-
разностями. А именно, если X = (Хп, 3~") - мартингал, то l = (ln, 3~п) с
?0 = Х0 и ?Л = ДХЛ, п^1, является мартингал-разностью. В свою очередь,
если ? = (?"" <^п) есть мартингал-разность, то X - (Хп, oF") с Хп = ?0 +
- • • + \п является мартингалом.
В соответствии с этой терминологией всякая последовательность ? = (Ыл>о
независимых интегрируемых случайных величин образует мартингал-разность
(с Згп = а{со: |0, |lt ..., ?"})¦
7. Следующая теорема проясняет структуру субмартингалов
(супермартингалов).
Теорема 2 (Дуб). Пусть X = (Хп, З7") - субмартингал. Тогда найдутся
мартингал т = (тп, (r)F") и предсказуемая возрастающая последовательность А
- (Ап, такие, что для каждого п^0
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАРТИНГАЛОВ И РОДСТВЕННЫХ ПОНЯТИЯ 475
имеет место разложение Дубах
Х" = т" + А" (Р-п. н.). (11)
Разложение подобного типа является единственным. Доказательство. Положим
т0 = Х0) Л0 = 0 и
тп = т0 + ^ [XJn - М (Xj+1\^j)l (12)
/=о
Лп ~ 2 (Xj+1 \^j)~ Ху]. (13)
/=0
Очевидно, что так определенные т и А обладают требуемыми свойствами.
Далее, пусть также Хп = т'п-\- А'п, где т' = (т'п, вХп)- мартингал, а А'
- (А'п, (r)F") - предсказуемая возрастающая последовательность. Тогда
Ап -р 1 А п - (Ап 4.2 Лл)Д (Шд+1 их А) (тц j тп)*
и, беря от обеих частей условные математические ожидания, получаем, что
(Р-п. н.) А'п+\ - А'п = Ап+1 - Ап. Но Л0 = Ло = 0, и,
значит, Ап - А'п и тп = т'п (Р-п. н.) для всех п^=0.
Теорема доказана.
Из разложения (11) вытекает, что последовательность Л = - (Л", ^п-А
компенсирует Х = (Хп, еХп) до мартингала. Это замечание оправдывает такое
Определение 7. Предсказуемая возрастающая последовательность А = (А",
oFn-A, входящая в разложение Дуба (11), называется компенсатором
(субмартингала X).
Разложение Дуба играет ключевую роль при исследовании квадратично
интегрируемых мартингалов М - (Мп, <#"л)л>о, т. е. мартингалов, для
которых МЛД-<оо, 0, что основано на том замечании, что стохастическая
последовательность M2 = (/VI?, sF") является субмартингалом. Согласно
теореме 2 найдутся такой мартингал т = (тп, eFn) и предсказуемая
возрастающая последовательность (М) = (<М)Я, eXn-l), ЧТО
М*п = тп+(М)п. (14)
Последовательность <М) называется квадратической характеристикой -
мартингала М и во многом определяет его структуру и свойства.
Из (12) следует, что
(15)
/=i
и для всех / k М [(Mh - МА2,1 аГ/] = М [Ml - М\ I "TJ = M [<М)*-<М)г I
eFJ. (16)
476
ГЛ. VII. МАРТИНГАЛЫ
В частности, если М0 = 0 (Р-п. н.), то
MMI = М (М)к. (17)
Полезно заметить, что если М0 = 0 и M" = J;i + . •• + ?*, где (?л)-
последовательность независимых случайных величин с М?г = 0 и M^iCoo, то
квадратическая характеристика
<M>" = MAft = D?1 + ... + D?", (18)
является неслучайной и совпадает с дисперсией.
Если X - (Хп, J~n) и Y - (Ул, аУл) - квадратично интегрируемые
мартингалы, то положим
(X, У)л = -¦ [(X + Y)n-(X - У)л]. (19)
Нетрудно проверить, что (XnYn - (X, Y)n, аУ") есть мартингал и, значит,
для Is^k
М [(X, - Хг) (У* - У;) | S,] = М [<Х, У>* - (X, УД \ ^]. (20)
В случае, когда X" = |1 + ... + g", Ул = т]1 + ... + т1л, где (g") и
(т]л) - последовательности независимых случайных величин с = ==Mi]i = G и
