Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В силу равномерной интегрируемости семейства {Хп} и теоремы 5 § 6 гл. II
MIл\Хт - Xw\-+0, т->-оо, и, следовательно,
J Хоо dP = J g dP. (8)
л л
Это равенство выполнено для любого А е sF" и, значит, для
СО
любого Ле |J aF". Поскольку М I Хоо I < оо, MIEK оо, то левая
"= 1
и правая части в (8) представляют a-аддитивные меры, возможно,
принимающие и отрицательные значения, но конечные и совпа-
ОО
дающие на алгебре (J sF". В силу единственности продолжения
п= 1
a-аддитивной меры с алгебры на наименьшую a-алгебру ее содер-
500
ГЛ. VII МАРТИНГАЛЫ
жащую (теорема Каратеодори, § 3 гл. Ilj равенство (9) остается
справедливым и для множеств Л е/ю = а(и/л). Итак,
$XJ0dP = $gdP= jMtelcFocJdP, Ле/Ю. (9)
А А А
Величины Хт И М (I [ аГсс) ЯВЛЯЮТСЯ eFco-НЗМерИМЫМИ, поэтому
в силу свойства 1 п. 2 § 6 гл. II из (9) следует, что =
= MdlcToo) (Р-П. н.).
Теорема доказана.
С л ед ст в и е. Стохастическая последовательность X - (Хп, &Fn) является
равномерно интегрируемым мартингалом тогда и только тогда, когда
существует случайная величина ? с М|?|<то такая, что X" = M(?j&E") для
всех 1. При этом Хп -> М (? j sf'cc)
(Р-п. н. и в смысле L1) при п-> со.
Действительно, если Х = (Хп, &Е") - равномерно интегрируе-
мый мартингал, то по теореме 2 найдется такая интегрируемая случайная
величина Х^, что (Р-п. н. и в смысле L1) и
к тому же Х" - М (Хсо1 аГ"). Так что в качестве случайной величины \
МОЖНО ВЗЯТЬ (efоо-измеримую величину) Хю-
Обратное утверждение следует из теоремы 3.
4. Остановимся на некоторых применениях доказанных теорем.
Пример 1. Закон "нуля или единицы". Пусть ?ь \2, ...- последовательность
независимых случайных величин, <3Г\ = = ст (ст: ?ь ..., ?"} и ^ - ст-
алгебра "хвостовых" событий. Из теоремы 3 М (lA \efi) -> М (/д | efm) =
1А (Р-П. Н.). Но /д И (|ь . . . , \п) независимы. Поэтому М (lA I = М/л
и, значит, (Р-п. н.) 1А - = М/д, откуда Р (Л; == 0 или Р(Л) = 1.
Следующие два примера иллюстрируют возможности применения приведенных
выше теорем о сходимости в математическом анализе.
Пример 2. Если / = / (х) - функция на [0, 1), удовлетворяющая условию
Липшица, то она абсолютно непрерывна и, как известно из анализа, найдется
такая интегрируемая (по Лебегу) функция g - g(x), что
f(x)-f{Q)=\g{y)dy. (10)
о
(В этом смысле g(x) есть "производная" /(х).)
Покажем как этот результат может быть получен из теоремы 1. Пусть ?2
==[0, 1), _ (?$ ([0, l)j и Р - лебеговск&я меря. Положим
k=\
§ 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ
501
ef" - cr{x: ^ Ъп\-о{ Х\ In}, И пусть
v /(1л + 2-л)-/а")
Л-П - О-я •
п~~ 2~п
Поскольку при заданном значении ?л случайная величина ?"+i принимает лишь
два значения \п и ?л + 2Лл+1) с условными вероятностями, равными 1/2, то
Отсюда следует, что X = (Х", sF") есть мартингал, причем равномерно
интегрируемый в силу того, что jX"JsgL, где L - константа в условии
Липшица: |/(х) - f(y) | sgL | л: - у [. Заметим, что аГ = а(r)([0, 1)) -
a(UaF"). Поэтому, согласно следствию к теореме 3, найдется такая aF-
измеримая функция g = g(x), что Xn-+g (Р-П. н.) и
и в силу произвольности п и k отсюда получаем требуемое равенство (10).
Пример 3. Пусть Q = [0, 1), aF = e$? ([0, 1)) и Р - мера Лебега.
Рассмотрим систему функций Хаара {Н"(х)}п>i, определенных в примере 3 §
11 гл. II. Положим aF" = cr{A:: Ни ..., Н"} и заметим, что а ((J aF") =
aF. Из свойств условных математических ожиданий и структуры функций Хаара
нетрудно вывести, что для любой борелевской функции f е L
Иначе говоря, условное математическое ожидание М (/(x) | aF"] есть
частичная сумма Фурье при разложении функции f (х) по системе Хаара.
Тогда, применяя теорему 3 к мартингалу
м [Хл+11 aF"] *= м [Хл+1 i 1П] = 2Л+!М и (1п,х + 2_(л+1)) -
- f (In,i)! In] = 2n+1 {! [/ (In + 2~{n+1]) - f d")| +
+ I [/ (In + 2-) - f (In + 2-t"+a>)]} = 2" {/ (In + 2-) - / (?,)} = X".
Хл = M ^ g | aF л].
(11)
Возьмем множество B = [0, k!2n\. Тогда из (11)
П
M[/(Ar))aF"]= 2 abHk(x) (Р-П. Н.),
(12)
где
ак = (f, Hk) = \f (х) Нк (х) dx.
о
502 ГЛ. VII. МАРТИНГАЛЫ
(M(/|gF"), eF"), находим, что при п-+со
? (/, Hk)Hk(x)-+f(x) (Р-п. н.)
1
1
л
0.
2 (A Hk)Hk(x)-f(x)
О /6= 1
5. Задачи.
1. Пусть {#"} - невозрастающее семейство о-алгебр Аэ Э^|Э..., #00= П#л и
г] -некоторая интегрируемая случайная величина. Доказать справедливость
следующего аналога теоремы 3: при п -> со
М (г) | #л) М (т] | #оо) (Р-п . н. и в смысле L1)-
2. Пусть ?ь |2, ...- последовательность независимых одинаково
распределенных случайных величин с Mj?i|<Coo и М?х = т,
= ?i + • • • + Показав (см. задачу 2 § 7 гл. II), что
М (Ei j Sn, Sn+1> ...) = M (?x | Sn) = (Р-п. н.),
вывести из результата задачи 1 усиленный закон больших чисел: при п -со
Sn
П
¦т (Р-п. н. и в смысле L1).
3. Доказать справедливость следующего результата, соединяющего в себе
теорему Лебега о мажорируемой сходимости и теорему П. Леви. Пусть
{?л},г>1 - последовательность случайных величин таких, что (Р-п. н.),
|?л|"?11. Mrj<oo и (#rm)m>i - неубывающее семейство ст-алгебр, еГет = а(
