Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
[)^"). Тогда (Р-п. и.)
lim М (In I "Гт) = М (1 ] аГоо).
т -юэ
л-* со
4. Доказать справедливость формулы (12).
5. Пусть й = [0, 1), eF = <?@([0, 1)), Р -мера Лебега и/ - = / (х) е ZA
Положим
(А+ 1)2~п
/"(*) = 2" 5 f(y)dy, k2-"^x<z(k+l)2-\
k2~n
Показать, что fn(x)-+f(x) (Р-п. н.).
6. Пусть ?2 = [О, 1), eF = eS(c)([О, 1)), Р - мера Лебега и / = = / (х) <=
L1. Продолжим эту функцию периодически на [0, 2) и
§ 5. О МНОЖЕСТВАХ СХОДИМОСТИ
503
ПОЛОЖИМ
2"
М*)= Е 2-"/(х + "2-").
i = 1
Показать, что fn (х) ->/ (х) (Р-п. н.).
7. Доказать, что теорема 1 сохраняет свою силу для обобщенных
субмартингалов.
§ 5. О множествах сходимости субмартингалов и мартингалов
1. Пусть X = (Хл, qF") - стохастическая последовательность. Будем
обозначать через {Хл->-}, или {-со < lim Хп < со}, множество тех
элементарных исходов, для которых lim Хп существует и конечен. Будем
говорить также, что A s В (Р-п. н.), если Р(/л</д) = 1.
Если X - субмартингал и sup М | Х" | < оо (или, что эквивалентно, sup
MXJCco), то в соответствии с теоремой 1 § 4 (Р-п. н.)
{ХЛ->} = П.
Рассмотрим вопрос о структуре множеств сходимости {Хл->} для
субмартингалов в случае нарушения условия sup М | Х" | < со. Пусть а>0 и
Ta = inf {п^ 1: Хп>а\ с та = со, если {• } = ф. Определение.
Стохастическая последовательность Х = = (Хп, ofn) принадлежит классу С+
(X е С+), если для любого а >¦ О
М (АХТа)+ / {та < со} < со, (1)
где АХл = Хл-Х"-1, Х0 = 0.
Очевидно, что X е С+, если
М sup | ДХ" | < оо (2)
П
или, тем более, если (Р-п. н.) для всех 1
|АХ"(<С<оо. (3)
Теорема 1. Если субмартингал ХеС+, то (Р-п. н.)
{sup Хл < со} = {Хл ->}. (4)
Доказательство. Включение {Хл->} s {supX"<;co} очевидно. Для
доказательства обратного включения рассмотрим
X
"остановленный" субмартингал X а = (ХТадл, аГл). Тогда в силу (1) sup
МХ?а д л < а + М [Х?а • / {та < со}] <
=??2а + М>[(ЛХТа)+-/ {та < со}] < со, (5)
504 ГЛ. VII МАРТИНГАЛЫ
и, значит, по теореме 1 из § 4 (Р-п. н.)
{т" = оо} ? {Х"->-}.
Но у {ха = оо} = {sup ХпС схэ}, поэтому (Р-п. н.) {sup'X"<oo} s
а > О
?={*" + }.
Теорема доказана.
Следствие. Пуст ь X - мартингал с М sup f АХп j Ссо. Тогда (Р-п. н.)
= - оо, Y\mXn= + со} = Q. (6)
В самом деле, применяя теорему 1 к X и -X, находим, что
(Р-п. н.) ___
{lim Хп < со} = {sup Хп < со} = {Хп -v},
{lim Хп > - со} = {inf А'л> - оо} = {Хп ->}.
Поэтому (Р-п. н.)
{lim Хп < со, lim <со} =={*"->},
что и доказывает (6).
Утверждение (6) означает, что почти все траектории мартингала X,
удовлетворяющего условию М sup j АХп \ С со, таковы, что или для них
существует конечный предел, или же они устроены "плохо" в том смысле, что
для них limX" = + со, a lim Хп - - оо.
2. Если ?i, ?2, .. • -последовательность независимых случайных величин
с М|г = 0 и ||г|^с-<оо, то, согласно теореме i § 2 гл. IV, ряд ??/
сходится (Р-п. н.) тогда и только тогда, когда zmtc со.
Последовательность Х = (Хп, eF") с Хп = + ... +1",
eF" = o{(о: ?ь ..., \п)п есть квадратично интегрируемый мартии-
П
га л с (Х)п- 2 М?г?, и сформулированному утверждению можно 1
придать такую форму: (Р-п. н.)
{<V>oc<"3} = {Xn-vJ = Q, где (Х)", = lim (Х)п.
П
Приводимые далее утверждения обобщают этот результат на случай более
общих мартингалов и субмартингалов.
Теорема 2. Пусть Х=(Хп, eF") - cy6мартингал и
X л = тп -f- Лп
- его разложение Дуба.
а) Если X - неотрицательный субмартингал, то (Р-п. п.)
{Аю < со} Е {Х"->-} Е {sup Хп < оо}. (7)
§ 5. О МНОЖЕСТВАХ СХОДИМОСТИ 505
b) Если X О, то (Р-п. н.)
{Ал ->-} = {sup < 00} Е {Лет < оо}. (8)
c) Если X - неотрицательный субмартингал и X е С~, то
(Р-п. н.)
{A'"->} = {sup/Y"<oo}=={/400 <oo}. (9)
Доказательство, а) Второе включение в (7) очевидно. Для доказательства
первого включения введем моменты
ста = inf {"Ss 1: Лл+1>а}, я> 0,
полагая ста = + сю, если {•}=0. Тогда Ла и в силу следствия 1 к теореме 1
§ 2
МА п / па - МЛ" д я.
Пусть F" = X"A{Ia, тогда Fa = (F", ef") - субмартингал с
sup М sg a <с со и в силу его неотрицательности из теоремы 1 § 4 следует,
что (Р-п. н.)
{Лсо^ё <т} = {ста = со} s {Х"->}.
Поэтому (Р-п. н.)
{Лот<оо} = [J {Лоо^та} s {Хп ->}.
а>0
b) Первое равенство следует из теоремы 1. Чтобы доказать второе, заметим,
что, согласно (5),
МЛТаЛ" = МАха дл=г? МХха д л ^2a-f- М / {та <С оо}{
и, значит,
МЛТд = М lim А%а д " < со.
Поэтому {та = со} е {ЛдаСсхэ} и требуемое утверждение следует из того,
что U а = со} - {sup Ал < оо}.
а>0
c) Это утверждение есть непосредственное следствие утверждений а) и Ь).
Теорема доказана.
Замечание. Условие неотрицательности А можно заменить условием sup МХ7 <
сю.
П
Следствие 1. Пусть А" = ^-1-... + |", где ?г5г0, М&<оо, Ь - аГ,-измеримы
и <^" = {0, П}. Тогда (Р-п. н.)
506 ГЛ. VII. МАРТИНГАЛЫ
и если к тому же М sup \п < оо, то (Р-п. н.)
П
{I; м(|я 1^x00}=оо
Следствие 2 (лемма Бореля - Кантелли -Леви). Если события Вп е то,
полагая, в (11) \п = 1в , получаем, что (Р-п. н.)
{§ Р(Вп|аГ"-1)<оо}=={|;1/вл<то}- 02)
3. Теорема 3. Пусть М - (Мп, eFn)n$zi - квадратично интегрируемый
