Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
(теорема 4 из § 3). К этой схеме относится и центральная предельная
теорема (теорема 3 из § 3) для сумм S" = g1 + ...
1, независимых и одинаково распределенных случайных величин ilt g2, ... В
самом деле, если положить
р %k Mg* пг nc
?л, k - -n I ип -
ип
то тогда
гр р Sn
и- 2 6".* = ~D~n •
k= i
Таким образом, нормальное и пуассоновское распределения могут выступать в
качестве предельных в схеме серий. Если Тп~^Т, то интуитивно понятно,
что, поскольку Тп есть сумма независимых одинаково распределенных
случайных величин, то предельная величина Т должна быть также суммой
независимых одинаково распределенных случайных величин. Имея это в виду,
введем такое
Определение 1. Случайная величина Т (а также ее функция распределения FT
и ее характеристическая функция фГ) назы-
358 ГЛ. III. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ мер
вается безгранично делимой, если для каждого я 3=1 можно найти такие
независимые одинаково распределенные случайные величины
r)j, т\п, что*) Т - +..• + Лл (или, что то же самое, FT=i
= F^*...*F^n, или ф7- = (фт,1)").
Теорема 1. Случайная величина Т может быть пределом
П
по распределению сумм Тп = * в том и только том
случае,
k = 1
когда Т безгранично делима.
Доказательство. Если ? безгранично делима, то для каждого п ^ 1
существуют независимые одинаково распределенные
случайные величины ?л>1........?л>* такие, что ? = ?л>1+ь
а это и означает, что ?, = Тп, n^sl.
Обратно, пусть Тп-^*Т. Покажем, что тогда Т безгранично делима, т. е. для
любого k найдутся независимые одинаково распределенные случайные величины
т^, .т]*такие, что Г = 11!+... • •• + 'Ч*-
Зафиксируем некоторое k 1 и представим величину Tnk в виде ^1> + ... +
^), где
Сл ^ = ^nk, 1 + • • • + ^nk, ni • • • ) ?л^ " \nk.n (А - 1)4-1 + • • • +
\nk, nk*
Поскольку Tnk -i-T, п-^у со, то последовательность функций распределений,
соответствующих случайным величинам Tnk, п^ 1, относительно компактна и,
значит, по теореме Прохорова плотна. Далее,
[Р (& > z)f = Р а*1' > г > г) ^ Р (Tnk > kz)
и
[Р (&° < - z)f = Р < - 2..............№< - г) < Р (Tnk < - kz).
Из этих двух неравенств и плотности семейства распределений для Tnk, n^z
1, вытекает плотность семейства распределений для ?л', п^\. Поэтому
найдется подпоследовательность {л,-} s {п} и случайная величина т],
такая, что ?,п}%, лг->- со. Поскольку величины ^п \ ..., Znk) одинаково
распределены, то ..., &
где т]1 = т]2 = .. .==т]л. В силу независимости величин ?л', ... из
следствия к теореме 1 из § 3 вытекает, что величины
*) Запись | -г) означает, что случайные величины | и г) совпадают по
распределению, т. е. F^{x) = F^{x), xefi,
§ 5. БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
359
г] ...т]* независимы и
П.^^ + .-. + ^ЛтЦ+.-. + ЧА.
Но Tn.k-^T, поэтому (задача 1)
¦г d , ,
Теорема доказана.
Замечание. Утверждение теоремы остается в силе, если условие, что при
каждом 1 величины |"л, ..., одинаково распределены, заменить на условие
равномерной асимптотической малости (4.14).
2. При проверке того, является ли данная случайная величина Т
безгранично делимой, проще всего исходить из вида ее характеристической
функции ф (t). Если для любого п^1 можно найти такие характеристические
функции фn(t), что ф (t) = [ф" (^]л, то Т безгранично делима.
В гауссовском случае
_ ее!
ф (t) = eitme 2 ,
и, полагая
t2 -
"Е? <L
фn(t)=e пе 2 .
сразу находим, что Ф (0 = [фя (0]п-В пуассоновском случае
ф(*)=е*(""-1>,
1)
и если положить фn(t) = en , то ф (t) = [ф" {t)]n.
Если случайная величина Т имеет Г-распределенне с плотностью
{ ха-'е-х1Ъ ^ п
Г(а)Р" *
[ 0, *<0,
то, как нетрудно показать, ее характеристическая функция равна
ф ^ = (1-"роа '
Следовательно, ф (/) = (фя (/))", где
фл (0== (1-/ро^я' и, значит, Т безгранично делима.
360 гл. ITT. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
Приведем без доказательства следующий результат об общем виде
характеристической функции безгранично делимых распределений.
Теорема 2 (представление Леви - Хинчина). Случайная величина Т является
безгранично делимой тогда и только тогда, когда Ф (i) = expip(i) с
ф(0 = "р--J (e^-l-Tiy-Ц^ад, (2)
- 00
еде Pei?, о2^0 и % -некоторая конечная мера на (R, <?ft{R)) с Ц0} = 0.
3. Пусть ?г, ?г, ...- последовательность независимых, одинаково
распределенных случайных величин и S" = +... + Пред-
положим, что существуют такие константы Ьп, й,>0 и случайная величина Т,
что
bn d^ гр
ап ' '
Спрашивается, как охарактеризовать все распределения (случайных величин
Т), которые могут возникать в виде предельных распределений в (3)?
Если независимые одинаково распределенные случайные величины ...
таковы, что 0< сг2 = Dgj <оо, то, полагая Ь"-
- и ап - о |/7г, согласно § 4, находим, что Т имеет нормальное
распределение @4^ (О, 1).
Если f(x)=n g;,j- - плотность распределения Коши (с параметром 0>О) и ?г,
?а, ... - независимые случайные величины с плотностью f (х), то
характеристическая функция равна
/ _ _ 111 \П
е-01'1 и, значит, фsn/n(t) = \e п J =е-01'1, т. е. величина Sn/ti имеет
