Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
и, значит,
Л- 2 5 (x-mk)2dFk (*)<
л k = 1 |x-m^ \
n
<7e ; T2Te 2 Ml^-m*l2 + 6>
Л k - 1
Следовательно, "условие Ляпунова" обеспечивает выполнение "условия
Линдеберга".
b) Пусть |х, |2, ... - независимые одинаково распределенные случайные
величины с т = М|х и дисперсией 0 < сг2 = D|x < со. Тогда
Ж 2 S \x-mfdFM =
k - 1 \х-т | ^ г&п}
= ^г 5 \x-m\tdF1(x)-+0,
{*: | х-т | ^ ео2 Уп
поскольку {л:: |х - т |>еог21/~п} j 0, h-voo, а сг2=М |^х - т\2<_аэ.
Таким образом, "условие Линдеберга" выполнено и, следовательно, теорема 3
из § 3 вытекает из доказанной теоремы 1.
c) Пусть |х, Е2, ... - независимые случайные величины такие, что для всех
п > 1
I | </С < со, где /( - некоторая постоянная, и ?>"->оо, со,
§ 4. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 355
Тогда из неравенства Чебышева
^ | x-mk\4Fk (х) = М[(g* - mkf I (| ?* - тк [ =>eD")]<
,(2К?Р {\lk - тк\^гОп}^{2КУ _ ,
е ип
и, значит,
п
¦ CO.
Следовательно, снова выполнено условие Линдеберга и, значит, справедлива
центральная предельная теорема.
3. Замечание 1. Условие Линдеберга достаточно для справедливости
центральной предельной теоремы. Оказывается, что при некотором
дополнительном условии (асимптотической малости
величин 1*_условие Линдеберга оказывается и необходимым. Будем говорить,
что величины 1 1, асимп-
l-* П
тотически малы, если для любого е > О
Ъ-М
Р | D ^ п.-*- оо. (14)
Поскольку
max
1 sSAsS
П
1
2 j (х~ mkf dFk (х)
~mh\>eDn}
П
2Р{|^-т/е|5геПл}52е2 max Р {[ ?к - тк | eDn},
1 <?¦ Ь<~ п
Dh
k - 1 ^jt: | х - trij, I ^
то из условия Линдеберга вытекает условие (14).
Вместе с теоремой 1 это показывает, что условие Линдеберга достаточно для
выполнения центральной предельной теоремы и условия асимптотической
малости. Следующая теорема, приводимая без доказательства, показывает,
что условие Линдеберга является и необходимым.
Теорема 2. Пусть |2, - последовательность независи-
мых случайных величин с конечным вторым моментом. Условие Линдеберга (1)
является необходимым и достаточным для (2) и (14).
Замечание 2.1 Пусть Тп - Sn~J*Sn. и рт (и _ р гр ^ х).
Л П
Тогда утверждение (2) означает, что для всякого хеК Ft {х) Ф (х), п-у оо.
356
ГЛ. III СХОДИМОСТЬ -ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
Поскольку функция Ф(х) непрерывна, то на самом деле сходимость здесь
равномерная (задача 5 в § 1):
sup I Ft (х) - Ф (х) |-> О, п-> оо. (15)
IEK1 Л 1
В частности, отсюда следует, что
Р{5л^х}-Фр=^)->0, п->оо.
Это утверждение часто выражают словами, что при достаточно большом п
величина Sn примерно нормально распределена со средним MSn и дисперсией
D"s=DSra.
Замечание 3. Поскольку в соответствии с предыдущим замечанием сходимость
Ft (х)->Ф(х), п->оо, равномерна по х, то естественно поставить вопрос о
скорости сходимости в (15). В том случае, когда величины ?х, ?2, ...
независимы, одинаково распределены и М | |3 < оо, ответ на
этот вопрос дается неравенством
Берри - Эссеена:
sup j^r (х)-Ф(х)[^СМ |3, (16)
х ' п ' о3У п
где абсолютная константа С такова, что
1
Y 2п
С<0,8.
Важно подчеркнуть, что без дополнительных предположений о природе
суммируемых случайных величин порядок оценки (16) не может быть улучшен
(см. задачу 3).
4. Задачи.
1. Показать, что в доказательстве теоремы 1 в самом деле без ограничения
общности можно считать тк - 0, k^l.
2. Пусть ?х, ?2,... последовательность независимых нормально
распределенных случайных величин с M?fc = 0, k^l, и D?x=l, D|* = 2*~2,
k^2. Показать, что в этом случае условие Линдеберга не выполнено, но в то
же самое время центральная предельная теорема (2) справедлива.
3. Показать, что в схеме Бернулли величина sup |Frn (х) -
- Ф (х) | имеет порядок -у=., я -> оо,
4. Пусть ?х, ?2, ... - последовательность независимых одинаково
распределенных случайных величин с М?х = О, М?!=1. Пока-
жите, что шах ДД)-^0, п-
\ V п V п /
• оо.
§ 5. БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
357
§ 5. Безгранично делимые и устойчивые распределения
1. В § 3 отмечалось, что для формулирования теоремы Пуассона
приходится прибегать к рассмотрению так называемой схемы серий, считая,
что при каждом задана последовательность
независимых случайных величин {gra, *}, l^k^n.
Положим
Тп - Ея, 1~Ь- • ¦ Ел, п" П^\. (1)
Понятие безгранично делимого распределения возникает в связи со следующим
вопросом: как охарактеризовать все те распределения, которые могут
выступать в качестве предельных для последовательности распределений
случайных величин Тп, 1?
Вообще говоря, при такой общей постановке вопроса предельное,
распределение может быть произвольным. Действительно, если \ - некоторая
случайная величина и Ел,* = 0, 1 <
<.k<n, то Тп = \ и, следовательно, предельное распределение совпадает с
распределением которое может быть взято произвольным.
Чтобы сделать задачу о предельных распределениях более содержательной,
будем всюду в этом параграфе предполагать, что при каждом п^\ величины
?л>1, \п,п не только независимы,
но и одинаково распределены.
Напомним, что именно такая ситуация имела место в теореме Пуассона
