Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
+ ... + ?*, и константы Ьп таковы, что 0<Ь"|со.
? ^
Показать, что случайные величины lim ~ и lim -¦ являются вырожденными.
4. Пусть S, = ?i + ... + |", л 3*1 и^(5) = П^(5), aF"(S) = = ст{(о: S",
5"+], ...}. Показать, что каждое событие из Э? (S) является
перестановочным.
§ 2. Сходимость рядов
1. Будем предполагать, что Н2, ... -последовательность независимых
случайных величин, S" = J-... + \п и А - множество тех элементарных
исходов ю, где ряд сходится к конеч-
ному пределу. Из закона "О или 1" Колмогорова следует, что вероятность
Р(Л) = 0 или 1, т. е. с вероятностью единица ряд ? ?" сходится или
расходится. Цель настоящего параграфа - дать критерии, позволяющие
определять, сходится или расходится ряд из независимых случайных величин.
Теорема 1 (Колмогоров и Хвнчин). а) Пусть М|" = 0, п3^1. Тогда, если
2 MgS < со, (1)
то ряд 2 \п сходится с вероятностью единица.
Ь) Если к тому же случайные величины \п, п 1, равнрмерно ограничены
(Р(||л|^с) = 1, с< со), то верно и обратное: из сходимости с вероятностью
единица ряда 2 следует условие (1). Доказательство этой теоремы
существенно опирается на Неравенства Колмогорова, а) Пусть |2, ..., У -
независимые случайные величины с Мс* = О, М?| < оо, i с л. Тогда
372 ГЛ. IV. НЕЗАВИСИМЫЕ случайные величины
для всякого е > О
MS*
Р| шах |Sft|^el<-3-. (2)
Ь) Если к тому же Р (| ?г | с) = 1, i sc п, то
Р( шах |S*|^elSsl(3) \к*<л ) ""^л
Доказательство, а) Обозначим А = {max \ Sk\^ е},
Л* = {| S, | < е, t = l, k-l, |S,|=Sse}t l^k^n. Тогда А = v Ak и
MS|s& MSI/л = 2 MSI/л,.
Но
MS^/л, = М (S, + (?fr+i + • • •+ ?л))2 IЛ, -
= MSI/л, + 2MS,(Ь+1 +... + у IAk + M (?,+1 + ... + U)21Ak^ SsM SllA",
поскольку MS* (lkn + ... + ?") /л, = MSkIAk • M (?*+1 +... + %") = 0 в
силу предположенной независимости и условий МУ = 0, i^n. Поэтому
MS3 ^? MS|/^ ^e"SP (Ak) = е2Р (А),
что и доказывает первое неравенство.
Для доказательства (3) заметим, что
MSI/л = MS3 - miIA Ss MS3 - е2Р (Л) = MSI - е2 + е2Р (А). (4)
С другой стороны, на множестве Ak
I Sa-i | е, | S, | | S,_, | +1 | е + с
и, значит,
MSI/л = Ц MSI/л, + Ц М (/л, (Sn - S,)2) <
k k
<(е + С)22Р(Л,) + |] Р(Л,) 2 му<
k А = 1 /=*+1
;Р (А)
(е +с)2+2 Му / =1
: Р (Л) [(е + с)2 + MS|]. (5)
Из (4) и (5) находим, что
MS,? -в2 (е+с)2 (е + с)2
р а \ >____________Ч____________ 1____________v ^ . 1
_;_!___
г W-" (e + c)2+MS|-e2 (е-рс)2-j-MS| е2 MS|'
s 2. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ
373
Неравенство (3) доказано.
Доказательство теоремы 1. а) Согласно теореме 4 из § 10 гл. 11
последовательность (<S"), 1, сходится с вероят-
ностью единица тогда и только тогда, когда эта последовательность
фундаментальна с вероятностью единица. По теореме 1 из § 10 гл. II
последовательность (Sn), nSsl, фундаментальна (Р-п. н.) в том и только
том случае, когда
В силу (2)
Pjsup | Sn+k - S/e | Зг ej ->¦ 0, л-> оо. (6)
lim Р( шах | S,;+k 5
N->¦00 (1
n + N CO
2 Mil 2 m
lim i==" k = n
11111 2 N^co e e2
Поэтому, если < со, то выполнено условие (6) и,
следо-
к=\
вательно, ряд ? Ik сходится с вероятностью единица.
Ь) Пусть ряд V] сходится. Тогда в силу (6) для достаточно больших п
Р jsup | Sn+k - S" J Ss sj < (7)
В силу (3)
Р jsup | Sn+/l - Sn | Ss е| Ss 1
(c + e)3
2 me;
k-tl
k
Поэтому, если допустить, ЧТО 2 М?| = оо, то получим
k = 1
Р jsup I Sn+k - S" I Ss ej = 1,
что противоречит неравенству (7).
Теорема доказана.
Пример. Если gj, |2, ... - последовательность независимых бернуллиевских
случайных величин с Р (|" = + 1) = Р (|" = - 1) = = 1/2, то ряд VtlnCin,
где |а"|сс, сходится с вероятностью единица тогда и только тогда, когда ?
< оо.
2. Теорема 2 (теорема о "двух рядах"). Для сходимости с вероятностью
единица ряда 2 \п из независимых случайных величин достаточно, чтобы
одновременно сходились два ряда V] М?" " SDIn- Если к тому же Р (| )
<с) = 1, ti^s 1, то это условие
является и необходимым.
374
ГЛ. IV. НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Доказательство. Если HD?"-<co, то по теореме 1 ряд - М|") сходится (Р-п.
и.). Но по предположению ряд СХОДИТСЯ, поэтому СХОДИТСЯ (Р-п. Н.) И ряд
Sin-
Для доказательства необходимости воспользуемся следующим приемом
"симметризации". Наряду с последовательностью g2, ... рассмотрим не
зависящую от нее последовательность независимых случайных величин |ь |2,
... таких, что |л имеет то же распределение, что и ?", 1. (Когда
исходное пространство элементар-
ных событий предполагается достаточно "богатым", существование такой
последовательности следует из теоремы 1 § 9 гл. II. В свою очередь можно
показать, что это предположение не ограничивает общности.)
Тогда, если сходится (Р-п. н.) ряд Sin, то сходится и ряд Sin, а ^
значит, и ряд S(ln - 1"). Но М(|" -1") = 0 и Р (l In -1" | sS 2с) = 1.
Поэтому по теореме I SD(in- |")<со. Далее
Поэтому по теореме I с вероятностью единица сходится ряд 2(?л -М|"), а
значит, сходится и ряд SM?".
Итак, из сходимости (Р-п. н.) ряда Sin (в предположении Р (! |" | sgc) =
1, nSsl) вытекает, что оба ряда SM?" и 2 0?л сходятся.
