Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
п Л(tm)1
1
ь
" /= 1
В частности, если ап- 1, то
*! + "¦ + *,, ->х. (8)
Доказательство. Пусть е >> 0 и п0 = п0 (е) таково, что для всех п0 |
- х j sg; е/2. Выберем п0 так, что
По
1 V
Ь...
Тогда для
- У IХу-X |< е/2.
П,
* .*- 1
/ - 1 / = • По
/ - 1 / = Л0 +1
По "
1 V . I I 1 VI , , _ е . п - /г0 е
^fc/Г 1а*\Ъ~х\ + Гп 1 atlxt-xl^z+'iri^*'
1 /= 1 /=п0+1
Лемма доказана.
Лемма 2 (Кронекер). Пусть {Ьп} - последовательность положительных
возрастающих чисел, bn f оо, п-> со, и {х"} - последовательность чисел
таких, что ряд ^хп сходится. Тогда
g-^ЬуДу-^О, п->со. (9)
"/=1
В частности, если Ьп - п, хп = ~ и ряд сходится,
то
Ух + .-. + Уп
->0, /г->оо. (10)
Доказательство. Пусть Ьо = 0. So = 0, S" = 2 */• Тогда
/=i
("суммирование по частям")
У! b/Xj = У Ту (Sy - Sy_j) = fo"S" - fr0S0 - 2 Sy_j (bj - bi~i)
j=X j-1 /=1
5 3. УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 379
и, значит,
П п
/=i /=i
поскольку, если Sn-*-x, то по лемме Теплица
Ь" 2 Sl~iai Х' i=i
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 1. Поскольку
Sn MS"
bn b
1 V ".
Ы Lbk[-H~)'
ft = l
то в силу леммы Кронекера для выполнения (4) достаточно, чтобы
(Р-п. н.) сходился ряд ^ Но этот ряд действительно
сходится в силу условия (3) и теоремы 1 из § 2.
Теорема доказана.
Пример 1. Пусть |lt |2, ... - последовательность бернулли-евских
независимых случайных величин с Р (?"=1)=Р (|я = - 1) =
= 1/2. Тогда, поскольку ^Vnlog2n <°°, то
- Sn --vO (Р-п. н.). (11)
Vп log
3. В том случае, когда величины ?1( ?2, ... не только независимы, но и
к тому же одинаково распределены, для справедливости усиленного закона
больших чисел нет надобности требовать (как в теореме 2) существования
второго момента, а достаточно лишь существования первого абсолютного
момента.
Теорема 3 (Колмогоров). Пусть с2, ... - последовательность независимых
одинаково распределенных случайных величин с М | | < оо. Тогда
~-*т (Р-п. ".), (12)
где т - М^.
Для доказательства нам понадобится следующая Лемма 3. Пусть ? -
неотрицательная случайная величина. Тогда
ОО оо
2! P(Ss*n)<Ms<i+црй^л). (i3)
0 = 1 0 = 1
380 ГЛ IV. НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Доказательство следует из следующей цепочки неравенств:
00 ОО
2 р^ И Р(*<к*+1)=
п = 1 п = 1 k ^ л
00 оо
= 2 ар(?^<?-И)= 2 M{ki (k^<k+1)]<
А=1 А=0
< I; щу(к^ъ<к+1)]=
к= О
со
= 2 м[(л+1)/(л^кл+1)Ь
А -О
- 2 Н-1) Р S <С Л 1)=
к = 0
со со со
= ^Р(^")+ 2p(*<g<* + i)= ЦР(&^л)+1.
п =1 6=0 гс=1
Доказательство теоремы 3. В силу леммы 3 и леммы Бореля - Кантелли
М | |i | < оо <=> V Р {[ |i | ^ "} < оо <=>
<=> ? Р {I \п I < со <=> Р {|1л I б. ч.}=0.
Поэтому с вероятностью единица для всех п, за исключением лишь конечного
числа, ||< п.
Обозначим
| ( ?п> | 5и | "'С
I о,
g _L_ It
и будем считать, что М?" = О, 1. Тогда -*0 (Р-п. н.),
если, и только если о (Р-п. н.). Заметим, что, вообще
говоря, ML 0, но
ML = Щп1 (] Ы < п) = MU (J ^ j < п) ->¦ Mgi = 0.
Поэтому по лемме Теплица
§ 3 УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
381
t I I р
и, следовательно, л~.(tm)~Г.5я ->0 (Р-п. н.) в том и только том случае,
когда (Р-п. н.)
(gi - Mgt)+ ... + (!,-Ml,) rt_>co. (14)
п
Обозначим |л = |" -М|п. В силу леммы Кронекера для выпол
нения (14) достаточно лишь установить, что ряд сходится
(Р-п. н.). В свою очередь, согласно теореме 1 из § 2, для этого
достаточно показать, что предположение М | | < со обеспечивает
сходимость ряда
Имеем
у D|"
2^М[5"/(|5'|<я)]'"
п = 1 п = 1
00 00 п
п = 1 п = 1 k~\
00 со
*= 2М[^/(Л-1<| 1г\<к)].
со
<2
<2^ M[|g1|/(ft-l<|Ei|<ft)] = 2M|E1|<oo.
*=i
Теорема доказана.
Замечание 1. Утверждение теоремы допускает обращение в следующем смысле.
Пусть |г, ?а, ... - последовательность независимых одинаково
распределенных случайных величин, для которых с вероятностью единица
il±nd^L_>c,
п 9
где С -некоторая (конечная) константа. Тогда М||1[<оо и С = М|х.
В самом деле, если (Р-п. н.), то
is. = J2=L_>.о (Р-п. н)
п п \ п 1п-1 v '
и, значит, Р(||л|>я б. ч.) = 0. По лемме Бореля - Кантелли
2Р(|?г|>")<со
382
ГЛ. IV. НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
и в силу леммы 3 М j ^ | < со. Тогда из доказанной теоремы следует, что С
= M?j.
Таким сбразом, для независимых одинаково распределенных случайных Ееличин
условие MI^jICoo является необходимым и достаточным для сходимости (с
вероятностью единица) отношений Sjn к конечному пределу.
Замечание 2. Если математическое ожидание т = существует, но не
обязательно конечно, то утверждение (11) теоремы также остается в силе.
В самом деле, пусть, например, М?7<оэ и = со. Положим для С > О
Sn = 2ыа,^с).
i =J
Тогда (Р-п. н.)
lmlim 4г = М^(?! < О-
п п
Но при С -со
5
поэтому ОО (Р-П. н.).
4. Остановимся на некоторых применениях усиленного закона больших
чисел.
Пример 1 (применение к теории чисел). Пусть Q=[0, 1), S3 - борелевская
система подмножеств Q и Р - мера Лебега на [О, 1). Рассмотрим двоичное
разложение со = 0, cojco.a... чисел (с бесконечным количеством нулей) и
определим случайные величины gj (со), (со), ..., полагая ?" (со) = со".
