Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ширяев А.Н. -> "Вероятность" -> 119

Вероятность - Ширяев А.Н.

Ширяев А.Н. Вероятность — МГУ, 1957. — 581 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnost1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 179 >> Следующая

Теорема доказана.
3. Следующая теорема дает необходимое и достаточное условие сходимости
ряда Sin без предположений об ограниченности случайных величин.
Пусть с -некоторая константа и
Теорема 3 (теорема Колмогорова о "трех рядах"). Пусть |2, ... -
последовательность независимых случайных величин. Для сходимости с
вероятностью единица ряда S i необходимо, чтобы для любого с >" 0
сходились ряды
и достаточно, чтобы эти ряды сходились при некотором с> 0.
Доказательство. Достаточность. По теореме о "двух рядах" ряд ^ In
сходится с вероятностью единица. Но если S Р (I in 15=с) < оо, то по
лемме Бореля - Кантелли с вероятностью единица S / (| \п 15= с) < со, а
значит, |" = ?л Для всех п, за исключением, быть может, конечного числа.
Поэтому ряд S также сходится (Р-п. н.).
SM;
с
; ni
SD& SP din 1^0
§ 2 СХОДИМОСТЬ РЯДОВ
375
Необходимость. Если ряд v сходится (Р-п. н.), то Е"->0 (Р-п. н.) и,
значит, для всякого с>0 может произойти (Р-п. н.) не более конечного
числа событий (|?"| ^с}. Поэтому ? / (| ?" | Дгс) < со (Р-п. и.) и по
второй части леммы Бореля - Кантелли ^ Р (( | > с) < оо. Далее, из
сходимости ряда ? \п
следует и сходимость ряда v Поэтому по теореме о "двух рядах" каждый из
рядов V Мёл и сходится.
Теорема доказана.
Следствие. Пусть Е2, ... - независимые случайные величины с М?" = 0.
Тогда, если
Поэтому, если V,, = U (j | sg 1), то
2 М (Ik)2 < оо.
Поскольку = О, то
21 Mi;,! = v | ми (! I ^ 1)! = V! ми Ш > i) I *?
И М | In 11 (| In I > 1) < со.
Значит, каждый из рядов v и У] Din сходится. Далее, по неравенству
Чебышева
Р (II" I > 1} = Р (II" I / (I I > 1) > 1} ^ М (| | / (| S"|>1).
Поэтому 1]Р (!?"!>!)< со. Тем самым сходимость ряда У ?п следует из
теоремы о "трех рядах".
4. Задачи,
1. Пусть tj, ?2, ... - последовательность независимых случайных
величин, Sn - ^ -f... -f \п. Используя теорему о "трех рядах", показать,
что: а) если ??п<со (Р-п. н.), то ряд сходится с вероятностью единица в
том и только том случае, когда сходится ряд ? Mltl (j h | "с 1); b) если
ряд 2 Sn сходится (Р-п. н.), то ряд 2 In < 00 (Р-п. н.) в том и только
том случае, когда
2. Пусть ?2) ... - последовательность независимых случайных величин.
Показать, что ??,%<<х> (Р-п. н.) тогда и только
го ряд 2] \п сходится с вероятностью единица. Для доказательства заметим,
что
Ум
М[Ц/(Ц,|с!) + !!,
< СО С=>У М\1п1 (
l) + |SnU(| in!> l)]<co.
2(M\tn\I(\ Sn | l))2 < CO.
376
ГЛ. IV. НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
тогда, когда
2мтл%<со-
3. Пусть ?2, ... - последовательность независимых случайных величин.
Показать, что ряд ?1п сходится (Р-п. н.) тогда и только тогда, когда он
сходится по вероятности.
§ 3. Усиленный закон больших чисел
1. Пусть glf g2, ... - последовательность независимых случайных
величин с конечными вторыми моментами, Sn = gj +... + g". Согласно задаче
2 из § 3 гл. III, если дисперсии Dg; равномерно ограничены, то имеет
место закон больших чисел:
гг У3", р. о, п-> со. (1)
п ' '
Усиленным законом больших чисел называется утверждение, в котором
сходимость по вероятности в (1) заменяются сходимостью с вероятностью
единица.
Один из первых результатов в этом направлении дается следующей теоремой.
Теорема 1 (Кантелли). Пусть gj, g2, ... - независимые случайные
величины с конечным четвертым моментом и такие, что
для некоторой константы С
M|g"-Mg"|4^C, nssl.
Тогда при п-> оо
?n-^Sn_^Q (Р-п. н.). (2)
Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать Mg" = 0, 1.
По следствию к теореме 1 из § 10 гл. II
?
ДЛЯ СХОДИМОСТИ (Р-п. н.) достаточно, чтобы для любого
е > 0
2р{Ц|=ц<о°.
В свою очередь, в силу неравенства Чебышева, для этого достаточно
выполнения условия
^ М | ур 4 < оо.
Покажем, что при сделанных предположениях это условие действительно
выполнено.
§ 3. УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 377
Имеем
п
SA = (Sl + ... + b.)4'=2y"2! т&' +
1=1 i'l Kt
+ 2 2ГТГТГ Шь + 2 41 + 2 зпг
1ф! Ki<k<l i^i
1фк
i< к
Тогда, учитывая, что М^ = 0, k^ti, отсюда находим
П П
ms< = 2 м^+6 2 м^м^/^"с+б 2
i - I (, / = 1 i, / =1
t<J
nC + 6n (n2~-1) С = (Зл2 - 2я) С < Зл2С.
Следовательно,
Теорема доказана.
2. Привлечение более тонких методов позволяет существенно ослабить
предположения, сделанные в теореме 1, для справедливости усиленного
закона больших чисел.
Теорема 2 (Колмогоров). Пусть |х, g2, ... - последовательность
независимых случайных величин с конечными вторыми моментами,
полоокительные числа Ь" таковы, что Ьп\ со и
2^<сю- (3)
Оп
Тогда
^^->0 (Р-п. н.). (4)
б частности, если
2ж<"- <5>
то
Sn-MSn_^о (Р п н ^ (6)
Для доказательства этой теоремы, а также нижеследующей
теоремы 3 нам понадобятся следующие два вспомогательных
утверждения.
Лемма 1 (Теплиц). Пусть {ап} - последовательность неотри-
П
цательных чисел, b" - ^] at, b" > 0 для всех п ^ 1 и bn f со,
i=i
378
ГЛ IV. НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
п-> со. Пусть также {хп} - последовательность чисел, сходящаяся к
некоторому числу х. Тогда
L Уа/х,-+х. (7)
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed