Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ширяев А.Н. -> "Вероятность" -> 112

Вероятность - Ширяев А.Н.

Ширяев А.Н. Вероятность — МГУ, 1957. — 581 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnost1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 179 >> Следующая

пуассоновского распределения (II.12.11), что и доказывает (7).
Если через я (Я) обозначить пуассоновскую случайную величину с параметром
Я, то по аналогии с (6) утверждение (7) можно записать также в следующем
виде:
Sa±n(X).
Теорема доказана.
4. Задачи.
1. Доказать справедливость утверждений теоремы 1 для случая пространств
Rn, п^ 2.
2. Пусть ?х, ?2, ... - последовательность независимых случайных величин с
конечными средними значениями М | ?" I и дисперсиями D|" такими, что D?"
sS/( < со, где /( - некоторая константа. Используя неравенство Чебышева,
доказать справедливость закона больших чисел (1).
3. В следствии к теореме 1 установить, что семейство {ф"} равностепенно
непрерывно и сходимость ф"-хр равномерна на каждом ограниченном
интервале.
4. Пусть \п, n^s 1, случайные величины с характеристическими функциями ф|
(/)> п^\. Показать, что ?"-^*0 тогда и только тогда, когда в некоторой
окрестности точки / = 0 щп (/) -> 1, п -> оо.
5. П)сть Хг, Х2, ... - последовательность независимых случай-i ных
векторов (со значениями в Rk), имеющих нулевое среднее
350 гл. III СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
и (конечную) матрицу ковариаций Г. Показать, что
Xi Jr---JrXn d
(Ср. с теоремой 3.)
---г=------------------(0, Г).
V п
§ 4. Центральная предельная теорема
1. Теорема 1. Пусть ti, ?г> ... - последовательность независимых
случайных величин с конечными вторыми моментами. Пусть
П
тк = Щ.к, oI = D?ft>0, S" = H1 + .D\= 2] uFk=Fk(x) -
k = l
функция распределения случайной величины t!r
Предположим, что выполнено "условие Линдеберга": для всякого е>0
П
-р- ^ f (х - mk)2 dFk (х)->¦ 0, п >- оо. (I)
п k ~-\ | х - j ^
Тогда
Sп d
Kds"
's/П' (0, 1). (2)
Доказательство. Без ограничения общности можно считать mk = 0, йз*1.
Обозначим ф* (t) = Me"5fc, Т"-
Vd Sn Dn Tsn (t) = Me"5", фгп (t) = Me"7'".
Тогда
ФГд (t) = MelYr" = Me Dn Sn = ф5 = JJ щ (J-) (3)
k = I
и для доказательства (2) достаточно (в силу теоремы 1 из § 3) установить,
что для каждого / <= R
Фг (t) er~ (2i2, п ->- оо. (4)
П
Возьмем некоторое t R и будем считать его фиксированным на протяжении
всего доказательства. В силу разложений
eiy=l+iy + ^f-,
§ 4. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 351
справедливых для каждого действительного у с 01 = 0! (г/), 0г= *=02(г/),
такими, что |6i|"Sl, |02|=^1, находим, что
Фи {t) = №'ilk =¦
СО
r= ^ eitxdFk{x)= ^ ^\ + itx + ^p^jdFk(x) +
- со ! * | > eDn
+ J (1 + itx-^+ dF"(x)-*
i *l<eOn
= 1+^ j ^dFk(x)-^ J x*dFk(x) +
! x \ > e?>n 1 * ] < zDn
+ iiS J 021A ]3 dFk (x)
UK zDn
(здесь мы воспользовались также тем, что, согласно предположе-
СО
нию, тк = § xdFk(x) - G).
- СО
Следовательно,
= 1 - j х* dFk (х) +
; х I <e?>
t\ , t2
ф/г [dJ ~ ' 2D\
+ -~Jr- j 0^а^*М + -щг J 02|x|3dFft(x). (5)
U i > ?D" " I * | < zDn
Поскольку
у j G1x2dFk(x) Ky j x2dFk(x),
2
x 1 Os fD.
| * J > eD"
TO
у j e^2 dFk(x) = 81 j a2 dFк (x)t (6)
U I > e?> I д: I > eO
где бг = 6X (/, k, ti) и I Gj eg 1/2. Точно так же
352
ГЛ. III СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
и, значит,
Т ^ 021 л: I3 dFk (х) = 02 ^ eDnx2 dFk (х), (7)
I * 1 < eDn I * К
где 02 = 02 (/, k, п) и ] 021 sg; 1/6.
Положим теперь
Аьп = -рт \ х2 dFk (х),
Dn\x\i*Dn
Bkn = [ x2dFk(x).
Ь'л , . Ji ^
I * j > eDn
Тогда в силу (5) -(7)
^ (?) = 1 " ^ + i; I(r) ^Akn = 1 + Ckn• (8)
Заметим, что
? (Л*л + 5*л) = 1 (9)
k = l
и, согласно условию (1),
2 В*"->0, rt-^co. (10)
& - I
Поэтому для достаточно больших п
-'Ал | 1 ^к^п
(П)
Ц |С*л|</* + еШа. (12)
*= 1
Воспользуемся теперь тем, что для любых комплексных чисел z с И >1/2
In (1 + г) = г + 0 | г р,
где 0 = 0 (г) с | в | ==g 1 и In обозначает главное значение логарифма.
Тогда для достаточно больших п из (8) и (11) следует, что для достаточно
малых е > О
1П ф* = In (1 + Chn) = С^п -f- 0*л | С/т р,
§ 4. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
где |0*я|^1. Следовательно, из (3)
353
+ 1п Ф тп (0 - "2" + ^
k=\
~2 + 2 2 (r)*л|Слл|2.
*=1 *==1
Но
ii
2
ft = i
+ 2 ^kn~~2\~ 2 ^kn)Jr^2 2 n^knJr
*= 1
k= l
+ e|/j3 Yi M*> k, n)Akn,
ft = l
и в силу (9), (10) для любого 6>0 можно найти столь большое п0 и е>0, что
для всех п^п0
k= i
Далее, в силу (11) и (12)
г
У! 0ftn \ Ckn!
б_ 2 '
ft = 1
max | Cfcn | У I Cftn I (/2e2 -)-e 1113) (/2 + e 1113).
1 < ft < n
Поэтому для достаточно больших п за счет выбора е > 0 можно добиться
того, что
П
2 (r)kn\Ckn\
ft = l t2
и, следовательно,
у + ]Г1ф7-" (0
Таким образом, для любого действительного t Фг (t)ei2/2^>-1, п->-оо
П
и, значит,
Ф т (t) е~ ^2, п оо.
П
Теорема доказана.
2. Остановимся на некоторых частных случаях, в которых выполнено
условие Линдеберга (1) и, следовательно, справедлива центральная
предельная теорема.
354 гл. III. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ мер
a) Пусть выполнено "условие Ляпунова": для некоторого б>0
П
* ^ M\t*-mk\2 + 6^0, п > со, (13)
11 k = I
Пусть е>0, тогда
СО
М |Eft-mft|2+6= ^ \x - mk\2+bdFk (х)>
- СО
$ | л: - тк |2 + 6 dFk {*)
{х' x\x~mk\>*Dn}
>e6D(r) $ (x - mk)2dFk(x)
ix: I x~mk\>EDn}
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed