Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
также распределение Коши (с тем же самым параметром 0).
Таким образом, в качестве предельных распределений, помимо нормального,
могут появляться и другие распределения (как, например, распределение
Коши).
* &
Если положить ?л,а = ---------" 1 ^ й "5 я, то найдем, что
ап пап
^=^-2 5-.. (-TJ.
k- 1
Таким образом, вее мыслимые распределения для Т, которые могут появляться
в качестве предельных в (3), обязательно являются (в соответствии с
теоремой 1) безгранично делимыми.
5 "¦ b
Однако специфика рассматриваемых реличин 71л = -2-- дает
§ 5. БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
361
возможность получить дополнительную информацию о структуре возникающих
здесь предельных распределений.
С этой целью введем такое
Определение 2. Случайная величина Т (а также ее функция распределения F
(х) и характеристическая функция ф (t)) называется устойчивой, если для
любого п ^ 1 найдутся такие константы ап >0, Ьп и такие независимые
случайные величины Еп • • • > In, распределенные как Т, что
или, что то же самое, f(--- )=F*...*F(x), или
апТ + Ьп^Ь + ... + tn (4)
(х - Ь \ ап
[ф(/)]" = [<р(а,./)]А'. (5)
Теорема 3. Случайная величина Т может быть пределом
по распределению случайных величин ---, ап >¦ 0, тогда и только
тогда, когда Т является устойчивой.
Доказательство. Если Т устойчива, то, согласно (4),
р .А ^п
где Sn = lx и, следовательно, --
ап
Обратно, пусть ?х, 12, ... - последовательность независимых одинаково
распределенных случайных величин, S" =
и JL т, ап^> 0. Покажем, что Т является устойчивой слу-
ап
чайной величиной.
Если Т - вырожденная случайная величина, то она, очевидно, устойчива.
Будем поэтому предполагать, что Т является невырожденной случайной
величиной.
Зафиксируем k^\ и обозначим
Sn* = El +•• •+?/!" •••> Snk) - Е(А-1)Л+1 + . • • + ?*/!>
с(1) U с(*)____________/,
rp( 1) °П rp(k) ип
* П ----- _ " • • • i * П п •
Ясно, что по распределению все величины Тп\ T(nk) совпадают и
Т{п-^Т, оо, i=l....k.
Обозначим
= Т'я ' +. •. + Та]>
362
ГЛ. III. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
Тогда
4- T(k\
где Т{1) =2=... = Т(к> = Т.
С другой стороны,
ц{к) __ li-Г- • ¦ - kbn __
°"Л ^il+---+?ftn-\ | bkn-kbn , n(A) /CN
-"571-----57------)-г-^Г~-ап Vftn+P" ' (6)
где
__ д(Д) kbn
"71 - " " - -
1/ _ ll "b* • • ~\~^kn bfin
Г Ал -------------
Из (6) ЯСНО, ЧТО
V
"*л
kn '
где Vkn±T, n^oo.
Из приводимой ниже леммы следует, что найдутся такие константы а(,!:>>0 и
j3U), что а7 ] Р(А), п-*- оо. Поэтому
Т d Та> + ... + Т<ь> - p<fe'
а<>"
что и доказывает, что Т является устойчивой случайной величиной.
Теорема доказана.
Сформулируем и докажем упомянутую выше лемму.
Лемма. Пусть 1п -?¦ | и существуют такие константы ап > О и Ьп, что
anln + bn - Ь
причем случайные величины | и | не вырождены. Тогда найдутся такие
константы 0 и Ь, что lim ап = а, Пmbn - b и
l^al + b.
Доказательство. Пусть <ря, ф и ц> - характеристические функции |я, | и |
соответственно. Тогда ф0л5 +6 (t), характеристическая функция ап\п-\-Ьп,
равна eltbn^n(ant), и согласно
8 5. БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
следствию к теореме 1 и задаче 3 из § 3,
е'Кп (ant)->$(t), Фя (0 -> Ф (О
363
(7)
(8)
равномерно на каждом конечном интервале изменения t.
Пусть {щ} - подпоследовательность {п} такая, что ап ->а. Покажем прежде
всего, что а<сю. Пусть а -со. В силу (7) для любого с > О
sup I j <Рл (flnt) \
\t:<C
! ф (0!
Возьмем вместо t величину = Тогда, поскольку ап.-усо, то
и, значит,
|фЯ; (4>)|-Чф(0)|= 1-
Но |<р".(/0) |-> i Ф(t0) |. Поэтому |<р(/0)| = 1 для любого t0<=R, и,
следовательно, согласно теореме 5 из § 12 гл. II, случайная величина ?
должна быть вырождена, что противоречит предположению леммы.
Итак, а С сю. Предположим теперь, что существуют две
подпоследовательности {щ} и {ti'i} такие, что ап.->-а, а^-уа', где
а Фа' и для определенности 0 Тогда из (7) и (8)
I фКО [ I Ф (at) I* 1 ФКО I ~Н Ф (О I
и
I к КО| к ф ("'о I, | ф"' к (о | -н ф (*) I-
Следовательно,
¦О, п-
¦ со.
IФ (at) I
и, значит, для любого t е R
IФ (a't) |,
|ф(01 =
ф(т'
Ф
а' \л
t
1,
¦ оо.
Поэтому |<р(/)| = 1 и, согласно теореме 5 из § 12 гл. II, отсюда
вытекает, что | - вырожденная случайная величина. Полученное противоречие
показывает, что а = а' и, значит, существует конечный предел Пшад - а,
причем a^sO,
tJU'* ГЛ. III. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
Покажем теперь, что существует предел limbn - b и а>0. Поскольку (8)
выполнено равномерно на каждом конечном интервале, то
фп (ant)->y(at),
и, значит, в силу (7) существует Пте'<ь" для всех тех t, для
Л -* СО
которых ф (at) Ф 0. Пусть 6 > 0 таково, что для всех j t [ < 5 Ф (at) Ф
0. Тогда для таких t существует \\metbn и, значит,
lim ! bn | < оо.
Пусть существуют две подпоследовательности {/г,} и {л,-}, такие, что
limbn. = b и \imbn' = b'. Тогда для jij<6
gitb __ gitb'
и, следовательно, b = Ь'. Итак, существует конечный предел b = = limbn и,
согласно (7),
if(t)=eu\ (at),
что означает, что | = а\ + Ь. Поскольку | не вырождена, то а > 0. Лемма
