Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Р (Л П Л") = Р (Л) Р (Ля),
откуда в силу (1) следует, что Р(Л) = Р2(Л), и, значит, Р(Л) = 0 или 1.
Теорема доказана.
Следствие. Пусть tj-- случайная величина, измеримая относительно
"хвостовой" а-алгебры ЗТ, т. е. |т] е В\ е ?Е, В е ^.S3(R). Тогда т]
является вырожденной случайной величиной, т. е. существует константа с
такая, что /э(т] = с) = 1.
3. Приводимая ниже теорема 2 служит иллюстрацией нетривиального
применения закона "нуля или единицы" Колмогорова.
Пусть ?2, ... - последовательность независимых бернулли-евских случайных
величин с Р(^л=1) = р, Р(|"=-1 )=<?, р + + 9=1, пф 1, и Sn = h + .. . +
Интуитивно понятно, что в симметричном случае, р- 1/2, -"типичные"
траектории случайного блуждания Sn, п 1, бесконечно много раз
проходят через
нуль, а в случае рФ 1/2 "уходят" в бесконечность. Сформулируем теперь
точный результат.
Теорема 2. а) Если р - 1/2, то Р (Sn = 0 б. ч.) = 1.
Ь) Если р=+ 1/2, mo P(S" = 0 б.ч.) = 0.
§ 1. ЗАКОНЫ "НУЛЯ ИЛИ ЕДИНИЦЫ"
369
Доказательство. Прежде всего отметим, что событие В = = (S" = 0 б. ч.) не
является "хвостовым", т. е. В ф SV - f| зГ" = ст{?л, ?я+1, Поэтому в
принципе не ясно, что вероятность события В принимает лишь значения 0 или
1.
Утверждение Ь) легко доказывается применением (первой части) леммы Бореля
- Кантелли. Действительно, если B2n={S2"--=0}, то по формуле Стирлинга,
(4 рд)п Vnti '
PW = C?V
и, значит, 2 Р (^2л) < °°- Поэтому P(S" = 0 б. ч.) = 0.
Для доказательства утверждения а) достаточно доказать, что событие
имеет вероятность 1, поскольку А Пусть
/3,. = jlim
V п
Уп
В.
оо\
Тогда Ас \ А, с-*- оо, при этом как событие А, так и все события Ас
являются "хвостовыми". Покажем, что для каждого с > О
Р(ЛС) = 1. Поскольку А что Р {Ас) > 0. Но
Р{ШБ 5
5С, то достаточно лишь установить,
Уп
>с\
lim Р
Sn
V п
>с) >0,
где последнее неравенство следует из теоремы Муавра- Лапласа.
Итак, для всех с > 0 Р (Ас) =Т и, значит, Р (А) = lim Р (Ас) = 1.
с ->со
Теорема доказана.
4. Отметим еще раз, что событие 5 = {S" = 06. ч.} не является
"хвостовым". Тем не менее из теоремы 2 следует, что для схемы Бернулли
вероятность этого события, как и в случае "хвостовых" событий, принимает
лишь два значения 0 или 1. Оказывается, что это обстоятельство неслучайно
и является следствием так называемого закона "0 или 1" Хьювитта и
Сэвиджа, который обобщает для случая независимых одинаково распределенных
случайных величин результат теоремы 1 на класс так называемых
"перестановочных" событий (включающий в себя и класс "хвостовых"
событий).
Введем необходимые определения. Взаимно однозначное отображение п = (п1,
п2, ...) множества (1, 2, ...) в себя назовем конечной перестановкой,
если яП = п для всех п, за исключением, быть может, конечного числа.
370 ГЛ. IV, НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Если ? = (?!, ?2, -последовательность случайных величин,
то через я(?) будем обозначать последовательность (?я" ?Яа,
Если событие Л = {^еВ}, В е (Д"), то через я (Л) обозначим событие
{я(?)еД}, ДесйДД").
Назовем событие А = {? е В}, Вей (Д00), перестановочным, если для любой
конечной перестановки я событие я (А) совпадает с А.
Примером перестановочного события является событие А =* = {S" = 0 б. ч.},
где Sn = ?, + . • - + in- Более того, можно показать (задача 4), что
каждое событие из "хвостовой" о-алгебры JP(5) = П(5), аГ"(5) = о{(о:
Sn, 5"+1, порожденной величинами S3 = |1 + i2> является
перестановочным,
Теорема 3 (закон "0 или 1" Хьюитта и Сэвиджа). Пусть ?lf ?2, ... -
последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин
и Л = {ш: (си ?2, перестановочное
событие. Тогда Р (Л) = О или 1.
Доказательство. Пусть 4 = {^еБ}- перестановочное событие. Выберем
множества Дл е s(r) (Rn) такими, что -для Ап =* - {(c): (ii, •••, in) <^Вп}
Р(ЛДЛл)-уО, не со. (2)
Поскольку случайные величины ?х, ?3, ,,, независимы и одинаково
распределены, то распределения вероятностей (В) гз = Р (| е В) и РПп (и
(В) = Р (я" (?) е Д) совпадают. Значит,
Р (А ААп) = Р% (В АВп) = РПп (И (Д ДДЯ). (3)
Раз событие Л является перестановочным, то
Л = {|е Д} = яя (Л) = {ял (|) е Д}.
Поэтому
РПп (|) (Д ДДЛ) = Р {ял (?) еД) А (я" (?) е= Дл)} -
= Р {(? е Д) А (л" (?) е Дл)} = Р {Л Дял (Лл)}, (4)
Итак, из (3) и (4)
Р(ЛДЛл) = Р(ЛДял(Лл)). (5)
В силу (2) отсюда следует, что
Р (ЛА (Лл р| ял (Лл))) -v0, п >• оо. (6)
Поэтому из (2), (5) и (6) заключаем, что
Р (ЛД-v Р (Л), Р (ял(Лл))-уР (Л),
Р (Ля П пп (Лл)) Р (Л), (7)
§ 2. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ 371
Далее, в силу независимости случайных величин У Е2, ...
Р(ЛяП(ЛЛ)) = Р {(El, ..., УеА", (?я+1, .... УеВяН
- Р {(ll> •••) 1л) е Вп} • Р Щя+Ц •••! ^2л) е Вп} =
-=Р(Ля)Р(яя(Ля)),
откуда в силу (7)
Р(Л) = Р2(Л)
и, значит, Р(Л) = 0 или 1.
Теорема доказана.
5. Задачи.
1. Доказать следствие к теореме 1.
2. Показать, что если (|") - последовательность независимых случайных
величин, то случайные величины limg" и lirn|" являются вырожденными.
3. Пусть (|") - последовательность независимых случайных величин, S" = |,
